相关试卷

1、小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $2 a^{2} ﹣ 4 a + 1$ 的值．他是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
$∴ a - 1 = \sqrt{2} ， ∴ （ a ﹣ 1 ） 2 ＝ 2 ，$
$∴ a^{2} ﹣ 2 a + 1 ＝ 2 ，$
$∴ a^{2} ﹣ 2 a ＝ 1 ，$
$∴ 2 a^{2} ﹣ 4 a + 1 ＝ 2 （ a^{2} ﹣ 2 a ） + 1 ＝ 2 \times 1 + 1 ＝ 3 ．$
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{97}}$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$
①求 $3 a^{2} + 12 a ﹣ 5$ 的值．
②直接写出代数式的值 $a^{3} + 2 a^{2} ﹣ 9 a ﹣ 1 ＝ ()$ ； $3 a^{2} + 13 a - \frac{1}{a} + 2026 =$ ( ) ．

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2、 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．

(1)、某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．
求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率．

(2)、义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件.
①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？
②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润．

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3、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC．

(1)、求证：四边形EAFC是平行四边形；

(2)、若∠E＝∠D＝65°，求∠AHB的度数．

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4、为了解八年级学生每周参加科学教育的时间(单位：h)，学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、在扇形统计图中，a= ，在箱线图中b= ， c=

(2)、本次调查样本中数据的众数为

(3)、根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h的人数约为多少?

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5、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} ﹣ 3 x ＝ 0$

(2)、 $x^{2} + x - 1 = 0$

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{6} \div \sqrt{2}$

(2)、 $(2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{3})^{2}$

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7、设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式： $\{\begin{cases} b^{2} + c^{2} = 2 a^{2} + 16 a + 14 \\ b c = a^{2} - 4 a - 5 \end{cases}$ ，则a的取值范围

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8、如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠ABC＝60°，点E、F分别在线段AD、BD上，且DE＝DF，连结BE，若BE平分∠AEF，则DE的长为

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9、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c ＝ 0 （ a ＜ 0 ）$ 的两根为x₁=1，x₂=3，则关于x的一元二次方程 $a （ x ﹣ 2 ）^{2} + b x + c = 2 b （ a ＜ 0 ）$ 的解为

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10、在△ABC中，D，E分别是BC，AC中点，AB=6，则DE=

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11、一个n边形的内角和是1080°，则n=

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12、当x=3时，二次根式 $\sqrt{1 + x} =$

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13、如图，在▱ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝5，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，代数式值不变的是（）

A、x+y B、x﹣y C、xy D、x²+y²

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14、如图，电路中有三个定值电阻R₁ ， R₂ ， R₃ ，且R₁ ， R₂的阻值（单位：Ω）满足方程R²﹣3R+2＝0，R₃＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（）

A、8V B、10V C、15V D、24V

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15、用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）

A、∠B＞90° B、∠B≥90° C、AB≠AC D、AB≠AC且∠B＝90°

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16、如图，下列条件中，能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B = C D$ ， $A D = B C$ B、 $A B / / C D$ ， $A D = B C$ C、 $∠ A = ∠ B$ ， $∠ C = ∠ D$ D、 $A B = C D$ ， $∠ B = ∠ D A B$

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17、某篮球队准备从甲、乙、丙、丁4名队员中选取1名成绩优异且发挥稳定的队员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下表：则应选择的队员是（）

甲
乙
丙
丁
平均数
7.5
7.5
6.3
6.1
方差
0.1
0.2
0.5
0.3

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $- \sqrt{15}$

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19、若二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥0 B、x＞0 C、x≤2 D、x＜2

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20、如图1，正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在线段 $O D$ 上，连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，过 $B$ 作 $B N ⊥ A P$ 于点 $N$ ，交 $A O$ 于点 $M$ ．

(1)、求证： $O M = O P$ ；

(2)、若 $B C = B P$ ，求证： $P N + N M = \frac{\sqrt{2}}{2} P A$ ；

(3)、如图2，当 $M$ 是 $A O$ 的中点时，线段 $E F$ （点 $E$ 在点 $F$ 的左边）在直线 $B D$ 上运动．连接 $A F$ 、 $M E$ ，若 $A B = 4$ ， $E F = \sqrt{2}$ ，求出 $A F + M E$ 的最小值．

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	甲	乙	丙	丁
平均数	7.5	7.5	6.3	6.1
方差	0.1	0.2	0.5	0.3