相关试卷

1、问题情景：

(1)、如图 $①$ ，已知 $A B / / D E .$ 试 $∠ B$ 、 $∠ E$ 、 $∠ B C E$ 有什么关系？小明添加了一条辅助线。解决了这道题．得到的结果是 $∠ B + ∠ E = ∠ B C E$ 。
请你帮他完善证明过程：
如图 $②$ ，过点 $C$ 作 $C F / / A B$
$∴$ $=$ $($ $)$
$∵ A B / / D E$ ， $A B / / C F$
$∴$ $/ /$ ．
$∴ ∠ E =$ $($ $)$
$∴ ∠ B + ∠ E = ∠ 1 + ∠ 2$
即 $∠ B + ∠ E = ∠ B C E$ 。

(2)、在图 $①$ 中。若 $B C ⊥ C E$ ，且 $∠ B = 52 °$ ，请你计算 $∠ E$ 的度数等于。

(3)、问题迁移：如图 $③ A D / / B C .$ 当点 $P$ 在射线 $A M$ 上运动时， $∠ A D P = ∠ α$ ， $∠ B C P = ∠ β$ 。请你猜想 $∠ α$ 、 $∠ β$ 与 $∠ C P D$ 之间有怎样的数量关系？并说明理由。

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2、每年的 $6$ 月 $6$ 日是全国爱眼日 $.$ 科学防控近视，关注孩子用眼健康，某校在爱眼日这天随机抽取 $50$ 名学生进行视力检测，分成 $A (4.0 \leq x < 4.3)$ ， $B (4.3 \leq x < 4.6)$ ， $C (4.6 \leq x < 4.9)$ ， $D (4.9 \leq x < 5.2)$ ， $E (5.2 \leq x \leq 5.3)$ 五组，将所得数据进行整理，信息如下：
信息一：视力频数分布表：
组别
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
视力
$4.0 \leq x < 4.3$
$4.3 \leq x < 4.6$
$4.6 \leq x < 4.9$
$4.9 \leq x < 5.2$
$5.2 \leq x \leq 5.3$
人数 $($ 频数 $)$
$5$
$8$
$16$
$a$
$b$
信息二： $C$ 组的数据分别为： $4.6$ ， $4.6$ ， $4.7$ ， $4.6$ ， $4.8$ ， $4.7$ ， $4.8$ ， $4.6$ ， $4.7$ ， $4.7$ ， $4.6$ ， $4.8$ ， $4.6$ ， $4.8$ ， $4.8$ ， $4.7$ ．
信息三：视力情况频数分布直方图．
请根据图表信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ， $b =$ ，并补全视力情况频数分布直方图；

(2)、本次调查视力情况的中位数为，视力正常 $($ 大于等于 $4.9)$ 的人数占被调查人数的百分比为；

(3)、请对该校学生的视力情况作出评价，并提出一条合理化建议。

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3、把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由。
如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上，已知 $B F$ 平分 $∠ E B C$ ， $∠ D + ∠ C B F = 90 °$ ， $D B ⊥ B F$ ，求证： $∠ D A E = ∠ E$ 。
证明： $∵ D B ⊥ B F ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ D B E + ∠ E B F = ∠ D B F = 90 ° ($ $)$ ，
$∵ B F$ 平分 $∠ E B C ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ E B F =$ $($ $)$ ，
$∵ ∠ D + ∠ C B F = 90 ° ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ D B E =$ $($ $)$ ，
$∴ A D / /$ $($ $)$ ，
$∴ ∠ D A E = ∠ E ($ $)$ ．

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4、“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京 $2022$ 年冬奥会和冬残奥会的吉祥物 $.$ 一家商店连续两个月销售规格为“ $10 c m$ ”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况如表所示．
销售量 $/$ 件
销售额 $/$ 元
冰墩墩
雪容融
第 $1$ 个月
$100$
$40$
$12320$
第 $2$ 个月
$160$
$60$
$19360$
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格．

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5、如图，把 $△ A B C$ 向上平移 $4$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，解答下列各题。

(1)、写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、在图上画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标。

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6、下面是小芳解一元一次不等式

1 - \frac{x + 1}{2} > \frac{x - 3}{5}

及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务。

解答过程

自我检查

解：去分母，得 $10 - 5 (x + 1) > 2 (x - 3) \dots$ 第一步

去括号，得 $10 - 5 x - 5 > 2 x - 6 \dots$ 第二步

移项，得 $- 5 x + 2 x > 10 + 5 - 6 \dots$ 第三步

合并同类项，得 $- 3 x > 9 \dots$ 第四步

系数化为 $1$ ，得 $x < - 3 \dots$ 第五步

第一步正确，其依据是（）；

第二步符合去括号法则，也正确；

第三步出错了！

任务：

(1)、第一步的依据是：；

(2)、第三步出错的原因是：；

(3)、该不等式的解集为．

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7、解方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 3 \\ 3 x - y = 7 \end{array}$ 。

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8、如图，三角形 $A B C$ 向右平移 $2 c m$ 得到三角形 $D E F$ ，如果四边形 $A B F D$ 的周长是 $20 c m$ ，那么三角形 $A B C$ 的周长是。

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9、小明家上月支出如图所示，若食物方面的支出 $900$ 元，则用于衣服方面的支出是元。

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10、设 $m > n$ ，用“ $<$ ”或“ $>$ ”填空： $- \frac{1}{3} m$ $- \frac{1}{3} n$ 。

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11、空竹在中国有悠久的历史，明代 $《$ 帝京景物略 $》$ 一书中就记载了空竹的玩法和制作方法 $.$ 抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝” $. 2006$ 年 $5$ 月 $20$ 日，抖空竹被列为第一批国家非物质文化遗产名录 $.$ 小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图， $A B / / C D$ ， $∠ C D E = 89 °$ ， $∠ D E B = 36 °$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为( )

A、 $55 °$ B、 $89 °$ C、 $121 °$ D、 $125 °$

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12、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ C D$ ，垂足为 $O$ 。若 $∠ A O C = 20 °$ ，则 $∠ E O B$ 的度数是( )

A、 $20 °$ B、 $70 °$ C、 $90 °$ D、 $110 °$

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13、如图，在数轴上有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点，则( )

A、点 $A$ 表示的数可能是 $- 1.2$ B、点 $B$ 表示的数可能是 $\frac{π}{3}$ C、点 $C$ 表示的数可能是 $2.2$ D、点 $D$ 表示的数可能是 $\sqrt{7}$

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14、如图，方格纸上有 $A$ ， $B$ 两点，若以点 $B$ 为原点建立平面直角坐标系，则点 $A$ 的坐标为 $(- 2,1)$ 。若以点 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，则点 $B$ 的坐标为( )

A、 $(- 2,1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(2,1)$

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15、一艘船顺流航行，每小时行驶 $20 k m$ ；逆流航行，每小时行驶 $16 k m$ ，求船在静水中的速度与水流速度分别是多少？若设船在静水中的速度为 $x k m / h$ ，水流速度为 $y k m / h$ ，根据题意可列出的方程组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 20 \\ x - y = 16 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 20 \\ x + y = 16 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 20 \\ x - 2 y = 16 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 20 \\ x + 2 y = 16 \end{array}$

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16、已知不等式的解集为 $x > - 1$ ，则这个解集在数轴上的表示正确的是( )

A、 B、 C、 D、

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17、 $9$ 的算术平方根是( )

A、 $3$ B、 $9$ C、 $\pm 3$ D、 $\pm 9$

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18、在数学活动课上，老师带领同学们对不同的等腰三角形进行探究学习。

(1)、如图所示，在等腰 $△ A B C$ 中， $A C = A B$ ，请完成下列任务。
$①$ 等腰 $△ A B C （） ($ 填“是”或者“不是” $)$ 轴对称图形；
$②$ 同学们发现，根据等腰三角形“三线合一”的特性、再结合角平分线性质和垂直平分线性质，可以用多种方法找到 $B C$ 边的中点 $D$ ，请你利用无刻度的尺子和圆规，选择一种你喜欢的方法找出 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中点 $D ($ 保留作图痕迹，不用写作图方法 $)$ 。

(2)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $O$ 为 $A B$ 边的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上，且 $∠ E O F = 90 °$ ，证明： $E O = F O$ 。

(3)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $O$ 是 $A B$ 边上的中点，点 $D$ 在 $C O$ 延长线上， $B D ⊥ B C$ ， $A D ⊥ A C$ 。点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上，且 $∠ E D F = 60 °$ ，四边形 $A C B D$ 的面积为 $25$ ，四边形 $E C F D$ 的面积为 $15$ ，请直接写出 $△ C E F$ 的面积。

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19、如图 $(1)$ ，点 $P$ 从 $△ A B C$ 的顶点 $B$ 出发，沿 $B \to C \to A$ 匀速运动到 $A$ 点。图 $(2)$ 是点 $P$ 运动时线段 $B P$ 的长度随时间变化的关系图象，其中 $M$ 为曲线部分的最低点，且曲线部分成轴对称图形。

(1)、图 $(2)$ 中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是，因变量是；

(2)、请求出 $A C$ 边的长；

(3)、 $①$ 当点 $P$ 在 $C A$ 边上运动时，线段 $B P$ 最短长度为 ▲ $c m$ ，此时线段 $B P$ 与边 $A C$ 的位置关系是 ▲ ；
$②$ 点 $P$ 在运动过程中，当 $△ A B P$ 的面积为 $30 c m^{2}$ 时，请求出点 $P$ 的运动时间。

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20、如图，已知 $∠ 1 = ∠ C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ 。求证： $D E / / B C$ 。请补充完成下列证明。
证明： $∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 ° ($ 已知 $)$ ，
$∠ 2 + ∠ D F E = 180 ° ($ 平角的定义 $)$ ，
$∴$ $($ 同角的补角相等 $)$ ，
$∴ D F / / A C ($ $)$ ，
$∴ ∠ 1 =$ $($ $)$ ，
又 $∠ 1 = ∠ C ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ C =$ $($ 等量代换 $)$ ，
$∴ D E / / B C ($ $)$ 。

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组别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
视力	$4.0 \leq x < 4.3$	$4.3 \leq x < 4.6$	$4.6 \leq x < 4.9$	$4.9 \leq x < 5.2$	$5.2 \leq x \leq 5.3$
人数 $($ 频数 $)$	$5$	$8$	$16$	$a$	$b$

	销售量 $/$ 件		销售额 $/$ 元
	冰墩墩	雪容融	销售额 $/$ 元
第 $1$ 个月	$100$	$40$	$12320$
第 $2$ 个月	$160$	$60$	$19360$