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1、某农场要建一个饲养场（矩形 $A B C D$ ），两面靠墙（ $A D$ 位置的墙最大可用长度为 $27$ 米， $A B$ 位置的墙最大可用长度为 $15$ 米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留 $1$ 米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长 $45$ 米．

(1)、若饲养场（矩形 $A B C D$ ）的一边 $C D$ 长为 $8$ 米，则另一边 $B C =$ ___________米．

(2)、若饲养场（矩形 $A B C D$ ）的面积为 $180$ 平方米，求边 $C D$ 的长．

(3)、饲养场的面积能达到 $210$ 平方米吗？若能达到，求出边 $C D$ 的长；若不能达到，请说明理由．

(4)、请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米² ．

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2、对于代数式 $a x^{2} + b x + c$ ，若存在实数 $n$ ，当 $x = n$ 时，代数式的值也等于 $n$ ，则称 $n$ 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式 $x^{2}$ ，当 $x = 0$ 时，代数式等于0；当 $x = 1$ 时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作 $A$ ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则 $A = 0$ ．

(1)、代数式 $x^{2} - 12$ 的不变值是______， $A =$ ______．

(2)、说明：代数式 $2 x^{2} - x + 1$ 没有不变值；

(3)、已知代数式 $x^{2} - n x + n$ ，若 $A = 0$ ，求 $n$ 的值．

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3、我们知道 $\sqrt{2}$ 是一个无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来．因为 $1 < \sqrt{2} = 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，所以 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分，差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，即 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ．
根据以上方法解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{23}$ 的整数部分为______，小数部分为______；

(2)、已知 $2 a - 3$ 的相反数为 $- 3$ ， $\sqrt{15}$ 的整数部分为b， $\sqrt{3}$ 的小数部分为c，求 $a + 2 b + c - \sqrt{3}$ 的立方根．

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4、解方程．

(1)、 $x (x - 3) = 0$

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 (x - 1) (x + 1) - 7$

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5、计算：

(1)、 ${(- \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{49} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$

(2)、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} + 8 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 3)}^{2}}$

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6、设 $a_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, a_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, a_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots, a_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{2025}}$ 的值为．

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7、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的最大整数值是．

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8、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x²+ax＝b²的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x²+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x²+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　）

A、线段BF B、线段DG C、线段CG D、线段GF

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9、已知实数 $a$ 满足 $|2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a$ ，那么 $a - 2024^{2}$ 的值是（　　）

A、 $2025$ B、 $2024$ C、 $2023$ D、 $2022$

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10、已知三角形的两边长分别是 $8$ 和 $6$ ，第三边的长是一元二次方程 $(x - 6) (x - 10) = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

A、 $24$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $6$ 或 $10$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $8 \sqrt{5}$ 或 $24$

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11、若 $m$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $- m^{3} + 2 m + 2025$ 的值为（　　）

A、 $2024$ B、 $2023$ C、 $2022$ D、 $2021$

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12、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m < 4$ 且 $m \neq 1$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m < 2$ 且 $m \neq 1$ D、 $m \leq 2$ 且 $m \neq 1$

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13、下列选项中 $a$ 的值，可以作为命题“ $\sqrt{a^{2}} = a$ ”是假命题的反例是（　　）

A、 $a = 3$ B、 $a = 0$ C、 $a = - 3$ D、 $a = 1$

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14、已知 $▱ A B C D$ 中，一动点 $P$ 在 $A D$ 边上，以每秒1cm的速度从点 $A$ 向点 $D$ 运动．

(1)、如图，运动过程中，若 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，且满足 $A B = B P$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．


(2)、如图，在（1）的条件下，连结 $C P$ 并延长，与 $A B$ 的延长线交于点 $F$ ，连结 $D F$ ，若 $C D = 2 \sqrt{3} cm$ ，直接写出： $△ D P F$ 的面积为___________ ${cm}^{2}$ ．


(3)、如图，另一动点 $Q$ 在 $B C$ 边上，以每秒4cm的速度从点 $C$ 出发，在 $B C$ 间往返运动，两个点同时出发，当点 $P$ 停止运动时 $Q$ 点也停止，设运动时间为 $t (t > 0)$ ，若 $A D = 12 cm$ ，则 $t =$ ___________秒时，以 $P$ 、 $D$ 、 $Q$ 、 $B$ 为顶点的四边形是平行四边形．


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15、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $B E ∥ A C, C E ∥ D B$ ．
求证：四边形 $O B E C$ 是菱形．

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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17、下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、（1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ，若 $B E = B C$ ，过 $C$ 作 $C F ⊥ B E$ 交 $B E$ 于点 $F$ ， ①求证： $△ A B E ≌ △ F C B$ ；②若 $S_{矩形 A B C D} = 10$ 时，则 $B E \cdot C F =$ ___________．
（2）如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $cos A = \frac{3}{7}$ ，过 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥$ $A D$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $S_{菱形 A B C D} = 63$ 时，求 $E F \cdot B C$ 的值．
（3）如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 在 $C D$ 上，且 $C E = 2$ ，点 $F$ 为 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过 $E$ 作 $E G ⊥ E F$ 交平行四边形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ，若 $E F \cdot E G = 7 \sqrt{3}$ 时，请直接写出 $A G$ 的长．

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19、如图，在五边形 $A B C D M$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ M A D = 30 °$ ， $B C = 6$ ， $A M = A B$ $= 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别为边 $A M ， B C$ 上的动点， $∠ E D F = 60 °$ ，连接 $E F$ ，当 $△ D E F$ 面积取得最小值时， $A E$ 的长为．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C = 8$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点F，过点F作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 于点E，则图中阴影部分的面积是．

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