相关试卷

1、在 $2025$ 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 $p H$ 值进行了检测，并对一天 $(24$ 小时 $)$ 内每小时的 $p H$ 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.27$ ， $7.28$ ， $7.34$ ， $7.35$ ， $7.36$ ， $7.51$ ， $7.53$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.81$ ， $7.81$ ， $7.88$ ， $7.91$ ， $8.01$ ， $8.02$ ， $8.03$ ， $8.07$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.23$ ， $8.26$ ， $8.26$ ．
乙基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.11$ ， $7.12$ ， $7.14$ ， $7.25$ ， $7.36$ ， $7.52$ ， $7.63$ ， $7.67$ ， $7.69$ ， $7.75$ ， $7.77$ ， $7.77$ ， $7.81$ ， $7.84$ ， $7.89$ ， $8.01$ ， $8.12$ ， $8.13$ ， $8.14$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.18$ ， $8.20$ ， $8.21$ ．
【整理数据】

$7.00 \leq x < 7.30$

$7.30 \leq x < 7.60$

$7.60 \leq x < 7.90$

$7.90 \leq x < 8.20$

$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲
$2$
$5$
$7$
$7$
$3$
乙
$4$
$2$
$9$
$a$
$2$
【描述数据】
【分析数据】

平均数
众数
中位数
方差
甲
$7.79$
$b$
$7.81$
$0.10$
乙
$7.78$
$7.77$
$c$
$0.13$
根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、填空： $b =$ ， $c =$ ；

(3)、请判断甲、乙哪个基地水体的 $p H$ 值更稳定，并说明理由；

(4)、已知两基地对水体 $p H$ 值的日变化量 $(p H$ 值最大值与最小值的差 $)$ 要求为 $0.5 \sim 1$ ，分别判断并说明该日两基地的 $p H$ 值是否符合要求．

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2、山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为 $5$ 米，注水时水位高度每小时上升 $6$ 米．

(1)、请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度 $y ($ 米 $)$ 与注水时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的关系式；

(2)、已知蓄水池的底面积为 $0.4$ 万平方米，每立方米的水可供发电 $0.3$ 千瓦时，求注水多长时间可供发电 $4.2$ 万千瓦时？

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3、在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．
如图 $1$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、已知 $A B = 3$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 如图 $2$ ，求 $D F$ 的长．

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4、

(1)、计算： $|- \frac{1}{3}| \times \sqrt{9} + π^{0}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x^{2} - 1) (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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5、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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6、取直线 $y = - x$ 上一点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $①$ 过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $y = \frac{1}{x}$ 于点 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ ； $②$ 过点 $A_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $y = - x$ 于点 $A_{3} (x_{3}, y_{3})$ ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1, - 1)$ ，则点 $A_{2025}$ 的坐标是．

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7、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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8、在平面直角坐标系中，将点 $P (3,4)$ 向下平移 $2$ 个单位长度，得到的对应点 $P'$ 的坐标是．

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9、写出使分式 $\frac{1}{2 x - 3}$ 有意义的 $x$ 的一个值．

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10、在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 $y ($ 厘米 $/$ 天 $)$ 和光照强度 $x ($ 勒克斯 $)$ 之间存在一定关系．在低光照强度范围 $(200 \leq x < 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成一次函数关系；在中高光照强度范围 $(x \geq 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 B、当 $x = 2000$ 时， $y$ 有最大值 C、当 $y \geq 0.6$ 时， $x \geq 1000$ D、当 $y = 0.4$ 时， $x = 600$

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11、如图，在平面直角坐标系中， $A$ ， $C$ 两点在坐标轴上，四边形 $O A B C$ 是面积为 $4$ 的正方形．若函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则满足 $y \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $0 < x \leq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $0 < x \leq 4$ D、 $x \geq 4$

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12、在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是 $2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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13、明代数学家吴敬的 $《$ 九章算法比类大全 $》$ 中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 $3$ 个头 $6$ 只手的哪吒若干，有 $1$ 个头 $8$ 只手的夜叉若干，两方交战，共有 $36$ 个头， $108$ 只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 $x$ 个，夜叉有 $y$ 个，则根据条件所列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$

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14、某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、已知 $a \neq 0$ ，则下列运算正确的是（）

A、 $- 2 a + 3 a = 5 a$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ C、 $a^{2} - a = a$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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16、好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省 $2024$ 年全年接待游客超 $9$ 亿人次．数据“ $9$ 亿”用科学记数法表示为（）

A、 $9 \times 1 0^{7}$ B、 $0.9 \times 1 0^{8}$ C、 $9 \times 1 0^{8}$ D、 $0.9 \times 1 0^{9}$

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17、我国“深蓝 $2$ 号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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18、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，数轴上表示 $- 2$ 的点是（）

A、 $M$ B、 $N$ C、 $P$ D、 $Q$

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20、综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点 $B^{'}$ 处，折痕交AB于点E ，再沿着过点， $B^{'}$ 的直线折叠，使点D落在 $B^{'} C$ 边上的点 $D^{'}$ 处，折痕交CD于点F ．将纸片展平，画出对应点 $B^{'}$ 、 $D^{'}$ 及折痕CE、 $B^{'} F$ ，连接 $B^{'} E$ 、 $B^{'} C$ 、 $D^{'} F$ ．

(1)、【初步猜想】确定CE和 $B^{'} F$ 的位置关系及线段BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现 $C E ∥ B^{'} F$ ，证明过程如下：
由折叠可知 $∠ D B^{'} F = ∠ C B^{'} F = \frac{1}{2} ∠ D B^{'} C$ ， $∠ E C B^{'} = ∠ E C B = \frac{1}{2} ∠ B C B^{'}$ ．由矩形的性质，
可知 $A D ∥ B C$ ， $∴ ∠ D B^{'} C = ∠ B C B^{'}$ ． $∴$ ① ▲ ． $∴ C E ∥ B^{'} F$ ．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② ▲ ．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明 $△ A B^{'} E ≌ △ D^{'} C F$ ，得到 $B^{'} E = C F$ ，再由 $B^{'} E = B E$ 可得结论．
方法二：过点 $B^{'}$ 作AB的平行线交CE于点G ，构造平行四边形 $C F B^{'} G$ ，然后证 $B^{'} G = B^{'} E$ 可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．

(2)、【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．

(3)、【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ，按上述操作折叠并展开后，过点 $B^{'}$ 作 $B^{'} G ∥ A B$ 交CE于点G ，连接 $D^{'} G$ ．当 $△ B^{'} D^{'} G$ 为直角三角形时，求出BE的长．

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