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1、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D E = D G$ ， $△ A D G$ 和 $△ A E D$ 的面积分别为60和42，则 $△ D E F$ 的面积为．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 36 °$ ．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线 $D E$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点F，G．以G为圆心， $G C$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点H，连接 $A G$ ， $A H$ ．则 $∠ H A B =$ ．

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3、已知 $a 、 b 、 c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 70 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，E是 $B C$ 的中点，连接 $E D$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、 $20^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $55^{\circ}$ D、 $70^{\circ}$

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5、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①利用尺规在 $B C ， B A$ 上分别截取 $B E ， B D$ ，使 $B E = B D$ ；②分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；③作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $△ B C G$ 的面积为 $4$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、无法确定 B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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6、已知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（）

A、3 B、 $4.5$ C、3或 $4.5$ D、无法确定

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7、结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题：

(1)、数轴上表示4和1的两点之间的距离是___________；表示 $- 3$ 和2的两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数 $m$ 和 $n$ 的两点之间的距离等于 $|m - n|$ ，数轴上表示 $x$ 和 $- 1$ 的两点之间的距离是___________；如果表示数 $a$ 和 $- 2$ 的两点之间的距离是3，那么 $a =$ ___________．

(2)、若数轴上表示 $a$ 的点位于 $- 5$ 和3之间，求 $|a + 5| + |a - 3|$ 的值．

(3)、若 $|x + 1| + |x - 2| = 7$ ，请直接写出 $x$ 的值．

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8、初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式：

(1)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2025} =$ ___________．

(2)、 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2025} =$ ___________；

(3)、求 $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - \sqrt{4}| + \dots + |\sqrt{2024} - \sqrt{2025}|$ ．

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9、小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位： $cm$ )： $+ 5$ ， $- 3$ ， $+ 10$ ， $- 8$ ， $- 7$ ， $- 10$ ， $+ 12$ ， $- 2$ ．

(1)、小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？

(2)、小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离)

(3)、在爬行过程中，如果每爬 $1 cm$ 奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？

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10、计算：

(1)、 $- 32 - (+ 11) + (- 9) - (- 12)$

(2)、 $(- \frac{1}{6} - \frac{5}{12} + \frac{2}{3}) \times (- 72)$

(3)、 $- 1^{2024} + \frac{1}{3} \times [1 - {(- 2)}^{3}]$

(4)、 $270 \times \frac{1}{4} + 0.25 \times 2.5 + \frac{25}{2} \times (- 25 %)$

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11、（1）问题：比较 $- |\frac{6}{5}|$ 与 $- \frac{4}{3}$ 的大小．
（2）请按照上述方法比较 $- \frac{10}{11}$ 与 $- |\frac{9}{10}|$ 的大小．

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12、我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方——九宫格：将9个数字填入 $3 \times 3$ 的格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中“△”处应该填．

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13、数轴上点 $A$ 表示的有理数是10，点 $P$ 与点 $A$ 相距4个单位长度，点 $P$ 表示的数是．

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14、若规定 $a \otimes b = (a b - 1) \div (a + b) + 1$ ，则 $2 \otimes (- 3) =$ ．

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15、地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（）平方千米．

A、 $361 \times 10^{6}$ B、 $3.61 \times 10^{7}$ C、 $3.61 \times 10^{8}$ D、 $0.361 \times 10^{9}$

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16、如图1， $△ A B E$ 是等腰三角形， $A B = A E$ ， $∠ B A E = 45 °$ ，过点B作 $B C ⊥ A E$ 于点C，在 $B C$ 上截取 $C D = C E$ ，连接 $A D$ 、 $D E$ ，并延长 $A D$ 交 $B E$ 于点P；

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、试说明 $A D ⊥ B E$ ；

(3)、如图2，将 $△ C D E$ 绕着点C旋转一定的角度，那么 $A D$ 与 $B E$ 的位置关系是否发生变化，说明理由．

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17、如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数.

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点 $O$ ， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线交于点 $D$ ，与 $∠ A B C$ 的外角平分线交于点 $E$ ，下列结论：① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ A = \frac{2}{3} ∠ E$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$ ．其中正确结论有（）个．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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19、如图，已知 $∠ A = 45 °, ∠ B = 60 °, ∠ D = 25 °$ ，则 $∠ A E D =$ （）

A、 $105 °$ B、 $85 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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20、如图，△ABC 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，根据“ $H L$ ”判定 $△ A B D ≅ △ A C D$ ，还需添加条件（）

A、 $A B = A C$ B、 $C D = B D$ C、 $∠ B A D = ∠ C A D$ D、 $∠ C = ∠ B$

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