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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上投影向量的坐标为．

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2、样本数据 $5, 9, 6, 7, 11, 8, 10.5$ 的 $40$ ％分位数为．

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3、如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 2 A B$ ， $M$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，若 $N$ 为是 $B_{1} D$ 的中点，则在 $△ A B M$ 的翻折过程中，下列命题正确的是（）

A、线段 $C N$ 的长为定值 B、异面直线 $A M$ 与 $B_{1} D$ 所成角为 $90 °$ C、直线 $C N$ 与平面 $A B_{1} M$ 所成角为定值 D、二面角 $A - B_{1} M - D$ 可以为直二面角

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4、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $P$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $Q$ 为 $A_{1} C$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、若 $P Q //$ 平面 $A B C D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{4} A_{1} C$ B、若 $P Q //$ 平面 $A B C D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{2} A_{1} C$ C、若 $P Q ⊥$ 平面 $P B D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{4} A_{1} C$ D、若 $P Q ⊥$ 平面 $P B D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{3} A_{1} C$

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5、下列说法正确的是（）

A、若空间中的 $O, A, B, C$ ，满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、空间中三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + 2022 \vec{O B} - 2023 \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 D、设 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$ ，则 ${\vec{m}, \vec{n}, \vec{c}}$ 不能为空间的一组基底

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6、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{C G} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A A_{1}}$ B、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ C、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 是 $P D$ 的中点，则 $\vec{E B}$ 可以表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} - \frac{3}{2} \vec{P C}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} + \frac{1}{2} \vec{P C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{3}{2} \vec{P B} - \frac{1}{2} \vec{P C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} - \frac{1}{2} \vec{P C}$

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8、关于空间直角坐标系 $O - x y z$ 中的一点 $P (1 ， 2 ， 3)$ ，下列说法错误的是（）

A、 $O P$ 的中点坐标为 $(\frac{1}{2} ， 1 ， \frac{3}{2})$ B、点 $P$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(- 1 ， 2 ， 3)$ C、点 $P$ 关于原点对称的点的坐标为 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ D、点 $P$ 关于 $x O y$ 面对称的点的坐标为 $(1 ， 2 ， - 3)$

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9、已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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10、已知向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标是 $(2, 3, - 1)$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}\}$ 下的坐标为（）

A、 $(- 2, 4, - 1)$ B、 $(2, 5, 2)$ C、 $(2, 5, - 1)$ D、 $(- 2, 4, 1)$

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11、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 4$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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12、已知直线 $l$ 经过点 $(4, 2)$ ，且在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上截距的两倍，则直线 $l$ 的方程为．

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13、已知直线 $l_{1} : m x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : 3 m x + (m - 2) y + m = 0$ ，则“ $m = 0$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 45 = 0$ 及点 $Q (- 2, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆心 $C$ 的坐标为 $(2, 7)$ B、若点 $P (m, m + 1)$ 在圆 $C$ 上，则直线 $P Q$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$ C、点 $Q$ 在圆 $C$ 外 D、若 $M$ 是圆 $C$ 上任一点，则 $|M Q|$ 的取值范围为 $[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$ ．

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 $\vec{m} = (4 \sin A, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{n} = (\frac{1}{2} \cos A, 2 \cos 2 A)$ ， $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ， $A \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}]$ ．

(1)、求函数 $f (A)$ 的最小值；

(2)、若 $f (A) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $\sin B + \sin C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $A B$ 上的点，满足 $D E ∥ B C$ ，且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ，存在动点 $M$ 使 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} D} (λ > 0)$ 如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求二面角 $C - M B - E$ 的正弦值；

(3)、设直线 $B M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成线面角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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17、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A D = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 在AB上，且 $A E = 1$ ．

(1)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E C$ 的距离．

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18、从甲、乙、丙、丁4位同学中选取2位去参与一项公益活动，试求下列事件的概率：

(1)、甲被选中；

(2)、丁没被选中；

(3)、甲、丁至少有1人被选中．

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19、已知点 $A (2, 1)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的倾斜角，并写出直线 $B C$ 的点斜式方程；

(2)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离．

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20、若直线 $(k + 1) x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为 $135^{\circ}$ ，则 $k =$ ．

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