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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x = 1$ ，直线 $l : 2 x - y - 3 = 0$ ，过 $l$ 上一点 $P$ 作圆 $M$ 的切线，切点为A，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M}$ 的最小值为.

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2、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1， $D$ 在平面 $A B C$ 内，若向量 $\vec{A D}$ 满足 ${\vec{A D}}^{2} - 4 \vec{A D} \cdot \vec{A B} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{C D} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、2 D、3

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3、已知点 $Q (1, 2, 3)$ ，平面 $α = {P | \vec{n} \cdot \vec{P Q} = 0}$ ，其中 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ ，则点 $A (- 1, 0, 1)$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、3

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4、已知 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，且直线 $l ⊥ α$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $l // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、解关于x的不等式．

(1)、 $x^{2} + a x + 1 < 0$ （ $a \in R$ ）；

(2)、 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ ．

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6、已知集合 $A = \{x ∣ a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0, a < 1\}, B = \{x ∣ x > 0\}$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ .

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7、设函数 $y = - m x^{2} + m x - 1$ .

(1)、若命题： $\exists x \in R, y > 0$ 是假命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若存在 $0 < x < 4$ ，使得 $y \geq (- m + 1) x^{2} + 3$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、已知实数 $a, b$ 满足 $4 a + b - a b = 0$ ，且 $a b > 0$ ，若关于 $t$ 的不等式 $a + b \geq t^{2} + 5 t + 3$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是 .

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9、已知 $a > b > 0, b > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a^{2}} < \frac{a}{b^{2}}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ D、 $a + c > b - c$

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10、已知命题p：“∀x∈ $R$ ， (a＋1)x²－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）

A、－1<a<2 B、a≥1 C、a<－1 D、－1≤a<2

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11、下列说法中正确的是（）

A、1与 $\{1\}$ 表示同一个集合 B、由1，2，3组成的集合可表示为 $\{1, 2, 3\}$ 或 $\{3, 2, 1\}$ C、方程 ${(x - 1)}^{2} (x - 2) = 0$ 的所有解的集合可表示为 $\{1, 1, 2\}$ D、集合 $\{x | 4 < x < 5\}$ 可以用列举法表示

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12、天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量 $a$ 万件与投入的促销费用 $x$ 万元 $(x \geq 0)$ 满足关系式 $a = 8 - \frac{k}{x + 1}$ （ $k$ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 $(36 + \frac{10}{a})$ 元，设该产品的利润为 $y$ 万元.（注：利润 $=$ 销售收入 $-$ 投入成本 $-$ 促销费用）

(1)、求出 $k$ 的值，并将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)、促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

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13、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a |a > \frac{1}{3}\}$ B、 ${a | 0 < a < \frac{1}{3}}$ C、 ${a | a \geq \frac{1}{3}}$ D、 ${a | a \leq \frac{1}{3}}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则x的值是 $\sqrt{3}$ C、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$

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15、设集合 $A = \{x |(x - 2) (x - a) \leq 0\}$ ， $B = \{x |3 < x < 7\}$ ，若 $A \cap B$ 中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(5, 6]$ B、 $[6, 7]$ C、 $[6, + \infty)$ D、 $(6, 7]$

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16、集合 $U, S, T, F$ 的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq ∁_{U} F$ C、 $F \subseteq ∁_{U} S$ D、 $T \subseteq ∁_{U} (S \cap F)$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{sin A - sin B}{sin C - sin B} = \frac{c}{a + b}$ ，则 $A =$ .

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18、在棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．过AE的截面与棱 $B B_{1}, A_{1} C_{1}$ 分别交于点F，G．

(1)、若F为 $B B_{1}$ 的中点，试确定点G的位置，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；

(3)、设截面AFEG的面积为 $S_{0}$ ， $△ A E G$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ A E F$ 面积为 $S_{2}$ ，当点F在棱 $B B_{1}$ 上变动时，求 $\frac{S_{0}^{2}}{S_{1} S_{2}}$ 的取值范围．

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19、《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
质量指标
$(25, 35)$
$(35, 45)$
$(45, 55)$
$(55, 65)$
$(65, 75)$
$(75, 85)$
$(85, 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；

(2)、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数， $s$ 精确到个位， $a_{n} = 5 \cdot \{\frac{\bar{x} - n s}{5}\}$ ， $b_{n} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + n s}{5}] n \in N^{*}$ ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在 $[a_{1}, b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在 $[a_{2}, b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

(3)、为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在 $A$ 类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在 $B$ 类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $B A ⊥ B C$ ， $P B ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $E$ 在平面 $A B C$ 内，且满足平面 $P A E ⊥$ 平面 $P B E$ ， $A B = B C = B P = 1$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B E$ ；

(2)、当二面角 $E - P A - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，
（ⅰ）求三棱锥 $E - P C B$ 的体积．
（ⅱ）直线 $P E$ 与面 $P B C$ 所成角的余弦值．

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质量指标	$(25, 35)$	$(35, 45)$	$(45, 55)$	$(55, 65)$	$(65, 75)$	$(75, 85)$	$(85, 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80