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相关试卷

1、命题“ $\forall x \in N$ ， $x^{3} \geq x^{2}$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} \leq x^{2}$ B、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ C、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} < x^{2}$ D、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} \leq x^{2}$

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2、已知集合 $A = \{x |- 2 \leq x < 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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3、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $∠ B A C = 60 °, ∠ B A D = ∠ C A D = 45 °$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = A C = 3$ .

(1)、求 $\vec{B C} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、已知 $F$ 是线段 $C D$ 中点，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，求线段 $E F$ 的长.

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4、已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ ；

(2)、 $\vec{D D^{'}} - \vec{A B} + \vec{B C}$ ；

(3)、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{D D^{'}} - \vec{B C})$ .

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5、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 3, m)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (2, 7, n)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $m n$ 的最小值为．

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6、已知 $\vec{n} = (- 3, 1, 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，点 $A (0, - 3, - 1)$ ， $B (k, 2 k, 2)$ 在平面 $α$ 内，则 $k =$ ．

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7、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体．
①直线 $C C_{1}$ 的一个方向向量为 $(0, 0, 1)$ ； ②直线 $B C_{1}$ 的一个方向向量为 $(0, 1, 1)$ ；
③平面 $B_{1} C_{1} C B$ 的一个法向量为 $(- 1, 0, 0)$ ； ④平面 $B_{1} C D$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$ ．
则上述结论正确的是.（填序号）

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8、如图，已知点 $P$ 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的对角线 $B D^{'}$ 上， $∠ P D C = 60 °$ $.$ 设 $\vec{D^{'} P} = λ \vec{D^{'} B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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9、若直线 $l$ 的方向向量为 $(2, 1, m)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(1, \frac{1}{2}, 2)$ ，且 $l ∥ α$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $4$ D、 $- 4$

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10、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）．

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、6

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11、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点M为 $A^{'} C^{'}$ 与 $B^{'} D^{'}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A^{'} B^{'}} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} D^{'}} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} A} = \overset{⃑}{c}$ ，则下列向量中与 $\overset{⃑}{B M}$ 相等的向量是（）.

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$

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12、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $2 \vec{c} - \vec{b}$ ， $\vec{a}$ B、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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13、给出下列命题：
①若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
②在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，必有 $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ ；
③若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ ．
其中假命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \tan x$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$

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15、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $M = \{1, 3, 4\}$ ， $N = \{2, 4, 5\}$ ，则 $M \cap (∁_{U} N) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{2, 5\}$

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16、设 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的实部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, x, - 1)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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18、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为.

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19、已知平面直角坐标系中，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ ，点 $P (- 4, 2)$ ，

(1)、若 $A$ 是圆 $O$ 上的动点，线段 $A P$ 的中点为 $M$ ，求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、以 $O P$ 为直径的圆交圆 $O$ 于 $C$ ， $D$ 两点，求 $|C D|$ .

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰三角形， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成的角的正弦值.

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