上海中学2017年数学高考模拟试卷（7）

试卷更新日期：2017-08-21 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 满足{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M有个．

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2. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₂+a₅+a₈=15，则S₉= ．

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3. 已知 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10} ， c o s 2 α = \frac{7}{25} ，求 s i n α$ = ．

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4. 已知tanα，cotα分别是关于x的二次方程x²+px+q=0（p＞0，q＞0）的两实根的等差中项和等比中项，则p，q满足的关系式为．

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5. 已知m∈R，复数z=m²+4m+3+（m²+2m﹣3）i，当m=时，z是纯虚数．

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6. 若集合A={ $x | y = 3^{\frac{1}{1 - x}}$ }，B={ $x | s = \sqrt{2 x - 1}} ，则 A \cap^{} B$ ，则A∩B= ．

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7. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有种投放方法．

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8. 函数y=x²﹣3x（x＜1）的反函数是．

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9. 已知f（x）= $l o g_{\frac{1}{2}}^{x}$ ，则不等式[f（x）]²＞f（x²）的解集为．

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10. 下列命题中的真命题为．
①复平面中满足|z﹣2|﹣|z+2|=1的复数z的轨迹是双曲线；
②当a在实数集R中变化时，复数z=a²+ai在复平面中的轨迹是一条抛物线；
③已知函数y=f（x），x∈R⁺和数列a_n=f（n），n∈N，则“数列a_n=f（n），n∈N递增”是“函数y=f（x），x∈R⁺递增”的必要非充分条件；
④在平面直角坐标系xOy中，将方程g（x，y）=0对应曲线按向量（1，2）平移，得到的新曲线的方程为g（x﹣1，y﹣2）=0；
⑤设平面直角坐标系xOy中方程F（x，y）=0表椭圆示一个，则总存在实常数p、q，使得方程F（px，qy）=0表示一个圆．

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11. 若f（n）为n²+1的各位数字之和（n∈N^*）．如：因为14²+1=197，1+9+7=17，所以f（14）=17．记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k₊₁（n）=f（f_k（n）），k∈N^* ，则f₂₀₀₅（8）= ．

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12. 设直线l过点P（0，3），和椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于A、B两点（A在B上方），试求 $\frac{| A P |}{| P B |}$ 的取值范围．

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二、选择题

13. 函数y=log_ax当x＞2 时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} \leq a \leq 2 且 a \neq 1$ B、 $0 < a \leq \frac{1}{2} 或 1 < a \leq 2$ C、1＜a≤2 D、 $a \geq 1 或 0 < a \leq \frac{1}{2}$

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14. ${(| x | + \frac{1}{| x |} - 2)}^{3}$ 展开式中的常数项是（）

A、5 B、﹣5 C、﹣20 D、20

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15. 函数y= $\frac{x a^{x}}{| x |}$ （0＜a＜1）的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 已知二次函数y=a（a+1）x²﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d₁ ， d₂ ， …，d_n ， …，则 $\underset{n \to \infty}{l i m}$ （d₁+d₂+…+d_n）的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 若α，β是实系数方程x²+x+p=0 的二根，|α﹣β|=3，则求实数p的值及方程的根．

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18. 已知﹣ $\frac{π}{2}$ ＜x＜0，则sinx+cosx= $\frac{1}{5}$ ．
（I）求sinx﹣cosx的值；
（Ⅱ）求 $\frac{3 s i n^{2} \frac{x}{2} - 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} + c o s^{2} \frac{x}{2}}{t a n x + c o t x}$ 的值．

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19. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．

(1)、求证：FD∥平面ABC；

(2)、求二面角B﹣FC﹣G的正切值．

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20. 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

(1)、设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；

(2)、如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．

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21. 已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n₊₁}是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n_﹣₁+a_2n（n=1，2，…）．

(1)、求出使不等式a_na_n₊₁+a_n₊₁a_n₊₂＞a_n₊₂a_n₊₃（n∈N^*）成立的q的取值范围；

(2)、求b_n和 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{1}{S_{n}}$ ，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

(3)、设r=2^19.2﹣1，q= $\frac{1}{2}$ ，求数列{ $\frac{l o g_{2} b_{n + 1}}{l o g_{2} b_{n}}$ }的最大项和最小项的值．

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22. 已知复数z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且 $z = \bar{z_{1}} i - z_{2}$ ．

(1)、若复数z₁对应的点M（m，n）在曲线 $y = - \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 1$ 上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；

(2)、将（1）中的轨迹上每一点按向量 $\vec{a} = (\frac{3}{2} ， 1)$ 方向平移 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ 个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；

(3)、过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．

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