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相关试卷

1、若 $z = 1 + i$ ，则 $|i z + 3 z| =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 4 < 0\}$ ， $B = \{x | |x| > 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{- 3, - 2\}$ D、 $\{- 3, - 2, 0\}$

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3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $E$ 在棱 $A B$ 上移动．

(1)、当点 $E$ 在棱 $A B$ 的中点时，求点 $B_{1}$ 到平面 $E C D_{1}$ 的距离：

(2)、当 $A E$ 为何值时，平面 $D_{1} E C$ 与平面 $A E C D$ 所成的夹角为 $\frac{π}{4}$ ．

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4、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，上顶点坐标为 $(0, \sqrt{6})$

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设P为椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，求焦点三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的的周长和面积．

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值．

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值．

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6、2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且 $\cos B = - \frac{1}{5}$ ，则该椭圆的离心率为．

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7、已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是．

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8、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， E是棱 $D D_{1}$ 的中点， $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 4$ ，且 $A B ⊥ A D$ ，则（）

A、 $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C E$ C、直线 $B_{1} D$ 与CE所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{105}}{15}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\sqrt{6}$

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9、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 50$ ，则（）

A、两圆的圆心距为 $2 \sqrt{5}$ B、两圆的公切线有3条 C、两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ D、两圆相交，且公共弦的长度为 $4 \sqrt{5}$

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10、已知 $M$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 是左､右焦点，下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是2

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11、自点 $A (- 2, 1)$ 发出的光线 $l$ 经过 $x$ 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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12、已知空间中三点 $A (- 1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, - 1)$ ， $C (- 2, - 1, 2)$ ，则点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、若点 $P (a, b)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 内，则直线 $a x + b y = 1$ 与圆C的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不能确定

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点.设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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15、若方程 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $4 < m < 6$ B、 $m > 5$ C、 $4 < m < 5$ D、 $5 < m < 6$

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16、已知直线 $l_{1} : (m - 6) x + (4 - m) y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 1 = 0$ 垂直，则 $m$ 的值为（）

A、1或 $- 4$ B、1或4 C、2或 $- 3$ D、2或3

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17、已知直线的一个方向向量为 $(3, - \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $45 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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18、已知空间向量 $\vec{a} = (x, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、3

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19、 $2023$ 年， $8$ 月 $29$ 日，华为 $Mate60Pro$ 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在 $2019$ 年 $5$ 月 $19$ 日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在 $2020$ 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 $300$ 万，每生产 $x ($ 千部 $)$ 手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 50 \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 9450 ， x \geq 50 \end{array}$ 由市场调研知此款手机售价 $0.7$ 万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出 $2020$ 年的利润 $w (x) ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x ($ 千部 $)$ 的表达式 $;$

(2)、 $2020$ 年年产量为多少 $($ 千部 $)$ 时，企业所获利润最大 $?$ 最大利润是多少 $?$

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20、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (x) = 2^{1 - x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，不等式 $m f (x) \leq {[g (x)]}^{2} + 2 m + 9$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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