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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z - i = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2、已知双曲线 $E$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(- \sqrt{3}, 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若互相垂直的两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 均过点 $P (p_{n}, 0) (p_{n} > \sqrt{2}$ ，且 $n \in N^{*})$ ，直线 $l_{1}$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交 $E$ 于 $C, D$ 两点， $M, N$ 分别为弦 $A B$ 和 $C D$ 的中点，直线 $M N$ 交 $x$ 轴于点 $Q (t_{n}, 0) (n \in N^{*})$ ，设 $p_{n} = 2^{n}$ .
①求 $t_{n}$ ；
②记 $a_{n} = |P Q|$ ， $b_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，求 $\sum_{k = 1}^{2 n} [b_{k + 1} - {(- 1)}^{k} b_{k}] a_{k}$ .

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} + 5 n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，公比 $q > 0, b_{1} = 6, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = \{\begin{cases} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1} \\ b_{k}, n = 2^{k} \end{cases}$ ，其中 $k \in N^{*}$ .
（i）求数列 $\{c_{n}\}$ 的前2024项和；
（ii）求 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2^{i}} c_{2^{i}} (n \in N^{*})$ .

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4、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $|A B| = |B C| = 3 \sqrt{2}$ ， $|P A| = |P B| = |P C| = |A C| = 6$ ，点 $O$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、求 $△ P O B$ 绕 $P O$ 旋转一周形成的几何体的体积；

(2)、点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且 $|B M| = \frac{1}{3} |B C|$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的大小.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2^{x}} + 1 (x > 0) \\ 2 x^{2} + 4 x + 2 (x \leq 0) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (f (x) - m) - 2$ ，当 $g (x)$ 恰有3个零点时，求 $m$ 的取值范围为.

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6、在 ${(3 - x)}^{n}$ 的展开式中，若 $x^{2}$ 的系数为 $a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $\frac{3^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{3^{n}}{a_{n}} =$ .

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7、一个词典里包含 $10$ 个不同的单词，其中有 $4$ 个以字母“ $A$ ”开头，其余以其他字母开头.从中选择 $5$ 个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“ $A$ ”开头，一共有个这样的子集.（要求用数字作答）

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8、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ} ､ 180^{\circ} ､ 270^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A, B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{3}{4}$ D、阴影区域的面积大于4

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9、某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 $14$ 、 $21$ 、 $14$ ，现采用分层抽样的方法从中抽取 $7$ 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的 $7$ 人中有 $5$ 人对此感兴趣，有 $2$ 人不感兴趣，现从这 $7$ 人中随机抽取 $3$ 人做进一步的深入访谈，用 $X$ 表示抽取的 $3$ 人中感兴趣的学生人数，则（）

A、从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 $2$ 人、 $3$ 人、 $2$ 人 B、随机变量 $X \sim B (7, \frac{5}{7})$ C、随机变量 $X$ 的数学期望为 $\frac{15}{7}$ D、若事件 $A =$ “抽取的3人都感兴趣”，则 $P (A) = \frac{2}{7}$

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10、某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
$[25, 30)$
$[30, 35)$
$[35, 40)$
$[40, 45)$
$[45, 50)$
$[50, 55]$
人数
1
2
6
5
4
2
下列说法正确的是（）

A、这20人年龄的 $80 %$ 分位数的估计值是46.5 B、这20人年龄的中位数的估计值是41 C、这20人年龄的极差的估计值是55 D、这20人年龄的众数的估计值是35

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11、命题 $p : f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 a x - 7, - 1 \leq x \leq 2 \\ (a + 4) ln (x + 2) - a - 1, - 2 < x < - 1 \end{array}$ 在 $x \in (- 2, 2]$ 上为减函数，命题 $q : g (x) = \frac{a x + 4}{x - 1}$ 在 $(1, + \infty)$ 为增函数，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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12、已知α， $β \in (0, π)$ ，且 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $\sin (α - β) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $\frac{56}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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13、已知 $a, b > 0$ 且 $a b = 2$ ，则 $(a + 1) (b + 2)$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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14、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + i} = - 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2i$

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15、已知函数 $f (x) = \ln x - a x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、当 $a > 0$ 时， $g (x) = e^{a x} f (x) + x$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，不等式 $x_{1} x_{2}^{2} > e^{m}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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16、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、记椭圆 $C$ 的上下顶点分别为 $A, B$ ，过点 $(0, 4)$ 斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，证明：直线 $B M$ 与 $A N$ 的交点 $G$ 在定直线上，并求出该定直线的方程．

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17、中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
年龄段人数成绩
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100)$
31岁-40岁
4
8
13
9
6
41岁-50岁
2
8
10
22
18
规定成绩在 $[0, 60)$ 内代表对中医药文化了解程度低，成绩在 $[60, 100]$ 内代表对中医药文化了解程度高.

(1)、从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；

(2)、将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记 $X$ 为对中医药文化了解程度高的人数，求 $X$ 的分布列和期望.

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18、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B B_{1}$ ， $B C_{1} \cap B_{1} C = O$ ， $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，直线 $A B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - A$ 的余弦值.

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19、我们知道，函数 $f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $f (x)$ 为奇函数，由此可以推广得到：函数 $f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数 $f (x) = \frac{n}{2^{x} + m}$ 的图象关于点 $P (0, - \frac{1}{2})$ 成中心对称，则 $m - n =$ .

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20、已知 $f (x) = 2 x \ln x - f^{'} (1) x$ ，则 $f (1) =$ ．

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年龄	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$	$[40, 45)$	$[45, 50)$	$[50, 55]$
人数	1	2	6	5	4	2

年龄段人数成绩	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
31岁-40岁	4	8	13	9	6
41岁-50岁	2	8	10	22	18