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相关试卷

1、如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 A^{'} B^{'} = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，且 $A N ⊥ B^{'} N$ $.$

(1)、证明： $A^{'} M / /$ 平面 $A B^{'} N$ ；

(2)、证明：平面 $A B^{'} N ⊥$ 平面 $A^{'} B M$ ；

(3)、若 $B^{'} B = C^{'} C = \sqrt{6}$ ，求平面 $A B^{'} N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正弦值.

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2、已知函数 $f (x) = \sin ω x - 2 \sin^{2} \frac{ω x}{2} + 1$ 其中实数 $ω > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点、两个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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3、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于 $B, C$ 两点，若 $|A B| = |A C|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度 $y$ (单位： $μm$ )与腐蚀时间 $t$ (单位： $s$ )有关，并收集数据如下表：
腐蚀时间t/s
5
10
15
20
30
40
腐蚀深度 y/μm
5
8
10
13
17
19

(1)、根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到 $0.01$ ）并推断它们的线性相关程度；

(2)、建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程(系数精确到 $0.01$ )；若腐蚀时间为 $60 s$ ，请估计腐蚀深度.参考数据： $\sqrt{34} \approx 5.83$ $.$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ $，$ 截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ $.$

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5、已知以原点为中心的椭圆 $C_{1}$ 、双曲线 $C_{2}$ ，与抛物线 $C_{3} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点 $P$ .若 $C_{2}$ 的离心率为2，则 $C_{1}$ 的离心率为.

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6、若存在 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ，对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (x + a) < f (x) + f (a)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ .请写出一个满足性质 $P$ 的函数是.

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7、将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C = 3 c \cos B$ ，则（）

A、 $a = 4 c \cos B$ B、 $B - C \geq 30 °$ C、 $B C$ 边上的中线长为 $c$ D、 $\frac{b}{c}$ 的取值范围是 $(1, 3)$

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9、甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件 $A$ 表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件 $B$ 表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（）

A、 $P (B| A) = \frac{5}{8}$ B、 $P (B) = \frac{15}{28}$ C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A| B) = \frac{1}{3}$

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10、已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面， $a, b, c$ 为三条不同的直线且 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则三条直线 $a, b, c$ 的位置关系可能是（）

A、三条直线两两平行 B、有且仅有两条直线平行 C、三条直线相交于同一点 D、有且仅有两条直线相交

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11、已知曲线 $y = 2^{x}$ 上的点 $A$ 和曲线 $y = 2^{x - 1} - \frac{4}{3}$ 上的两点 $B, C$ 满足 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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12、已知正项等比数列{a_n}的公比不为1， $T_{n}$ 为其前n项积，若 $T_{7} = 1$ ，则集合 $\{T_{k} ∣ 1 \leq k \leq 20\}$ 中的元素个数为（）

A、13 B、17 C、18 D、20

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13、甲、乙、丙、丁、戊共 $5$ 名同学进行劳动技术比赛，决出第 $1$ 名到第 $5$ 名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这 $5$ 人名次排列的所有可能情况共有（）

A、 $36$ 种 B、 $42$ 种 C、 $48$ 种 D、 $54$ 种

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14、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（）

A、0 nmile B、15 nmile C、30 nmile D、40 nmile

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15、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是（）

A、 $y = (e^{x} + e^{- x}) s i n x$ B、 $y = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ C、 $y = (e^{x} + e^{- x}) c o s x$ D、 $y = (e^{x} - e^{- x}) c o s x$

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16、已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{4}{17}$ B、 $- \frac{1}{11}$ C、 $0$ D、 $\frac{4}{17}$

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17、已知复数 $z = (m + 1) + (m^{2} + 3 m) i$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

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18、已知命题： $\forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则该命题的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x + |x| < 0$ B、 $\forall x \in R, x + |x| \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x + |x| \geq 0$ D、 $\exists x \in R, x + |x| < 0$

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19、某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 $X$ 的分布列为
$X$
$0$
$1$
$2$
$3$
$P$
$k {(1 - α)}^{2}$
$k α$
$k$
$k (1 - α)$
其中 $k > 0$ ， $0 < α < 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；

(2)、已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率 $f (α)$ ；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，求 $α$ 的取值范围．

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20、四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是菱形，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A D = 2$ ，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 是矩形，且M是 $A_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面ABCD所成二面角的平面角为 $\frac{π}{3}$ ， $A_{1} A = \sqrt{3}$ ，求直线 $B_{1} D$ 与平面MAB所成角的正弦值.

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腐蚀时间t/s	5	10	15	20	30	40
腐蚀深度 y/μm	5	8	10	13	17	19

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$k {(1 - α)}^{2}$	$k α$	$k$	$k (1 - α)$