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相关试卷

1、函数 $f (x) = \frac{8}{x + 1} - (x - 2) \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + 3 = 0$ B、 $x + y - 5 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x - 2 y + 7 = 0$

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2、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3、若 $\sin (π + α) + \cos (\frac{π}{2} + α) = - m$ ，则 $\cos (\frac{3 π}{2} - α) + 2 \sin (6 π - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3} m$ B、 $- \frac{3}{2} m$ C、 $\frac{2}{3} m$ D、 $\frac{3}{2} m$

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4、如下图，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且 $E F / / A C$ ；将 $△ B E F$ 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)、求证： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若 $B E = 2 A E$ ，二面角 $P - E F - C$ 是直二面角，求二面角 $P - C E - F$ 的正切值；

(3)、当 $P D ⊥ A E$ 时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c, \frac{a - c}{a + b} = \frac{sin A - sin B}{sin C}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $12 π$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中 $, P A ⊥$ 平面ABCD，E为PD的中点， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 1, A D = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D C$

(2)、求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．

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7、某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；

(2)、若认定评分在 $[80, 90)$ 内的学生为“运动爱好者”，评分在 $[90, 100]$ 内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.

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8、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角，则实数 $x$ 的取值范围是．

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为棱 $D D_{1}$ 的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、直线 $B_{1} E / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、当 $A_{1} P ⊥ A C_{1}$ 时， $A_{1} P ⊥ A C$ D、直线 $B_{1} E$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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10、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \geq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$

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11、某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（）

A、极差是4 B、众数小于平均数 C、方差是1.8 D、数据的80%分位数为4

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12、已知 $a = 2^{0.1}, b = \log_{5} 2, c = \sin 1$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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13、科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（）
（参考数据： $\frac{\sqrt{4258}}{2} \approx 32.6$ ， $π \approx 3.14$ ）

A、 $2480 m^{2}$ B、 $2498 m^{2}$ C、 $2502 m^{2}$ D、 $2508 m^{2}$

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{8} \vec{b}$ B、 $- \frac{5}{8} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{8} \vec{b}$ D、 $- \frac{7}{8} \vec{b}$

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15、已知直线l倾斜角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且经过点 $(2, 1)$ ，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x - y - 3 = 0$ C、 $x - 2 y = 0$ D、 $x + 2 y - 4 = 0$

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16、已知两条直线 $l_{1} : a x + 4 y - 1 = 0, l_{2} : x + a y + 2 = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x |{log}_{2} (x + 1) \leq 2\}$ ， $B = \{- 3, - 1, 2, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1\}$ B、 $\{- 1, 2\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2, 5\}$

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18、已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x} (0 < a < 1)$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的定义域 $D$ ，并判断 $f (x)$ 的奇偶性；
（2）如果当 $x \in (t, a)$ 时， $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 1)$ ，求 $a$ 与 $t$ 的值；
（3）对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，是否存在 $x_{3} \in D$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，若存在，求出 $x_{3}$ ；若不存在，请说明理由．

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ， $P (1, 3)$ ， $Q (3, 1)$ ， $M (- 3, 1)$ ， $N (0, 2)$ 这四点中恰有三点在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点E是椭圆C上的一个动点，求 $△ E M N$ 面积的最大值；

(3)、过 $R (0, 1)$ 的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率 $k > 0$ ，在x轴上是否存在一点 $D (m, 0)$ ，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

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20、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (2 \sin B, 2 \cos B)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{3} \cos B, - \cos B)$ ，且 $\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} = 1$ .
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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