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相关试卷

1、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心， $c$ 为半径的圆与双曲线 $M$ 在第一象限的交点为 $P$ .若 $|P F_{1}| = c + 4$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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2、已知集合 $M = \{x |y = \ln x\}$ ，集合 $N = \{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x > 0$ 且 $x \neq 1\}$ B、 $\{x |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x \neq 0\}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, m - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ ．

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4、设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： 2 x + y + 5 = 0$ ，点 $P$ 为 $l$ 上的一个动点．过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ．

(1)、当 $∠ A P B$ 最大时，求点 $P$ 的坐标；

(2)、求证：直线 $A B$ 恒过定点；

(3)、当 $|P O| \cdot |A B|$ 最小时，求直线 $A B$ 的方程．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，点 $E$ 在棱 $P C$ 上， $C E = 2 P E$ .

(1)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当直线DE与平面 $P B D$ 所成角最大时，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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6、如图，四边形ACC₁A₁与四边形BCC₁B₁是全等的矩形， $A B = \sqrt{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2} A A_{1}$ ．

(1)、若P是AA₁的中点，求证：平面PB₁C₁⊥平面PB₁C；

(2)、若P是棱AA₁上的点，直线BP与平面ACC₁A₁所成角的正切值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ，求二面角B₁﹣PC﹣C₁的余弦值．

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7、已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 10$ 和圆 $N ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 14 = 0 ．$

(1)、求证：圆 $M$ 与圆 $N$ 相交；

(2)、求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)、求经过圆 $M$ 与圆 $N$ 的交点，且面积最小的圆的方程．

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8、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B$ ∥ $D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ .点E为棱 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $B E ⊥ D C$ ；

(2)、 $B E$ ∥平面 $P A D$ ；

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9、《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在 $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$ ，点 $C$ 在第一象限，直线 $A C$ 的方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ ，圆 $E$ 与 $B A$ 延长线、 $B C$ 延长线及线段 $A C$ 都相切，则圆 $E$ 的标准方程为．

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10、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点．若弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m$ 的值是

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11、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (1, 3, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$

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12、下列说法正确的是（）

A、过 $A (1, 3), B (- 2, 0)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ B、经过点 $(- 1, 2)$ 的所有直线都可以用方程 $y - 2 = k (x + 1)$ 表示 C、直线 $y = 2 x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ D、点 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, - 6)$ 在同一条直线上

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13、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若平面向量 $\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}, \vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$

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14、已知直线 $l ： 2 x - 3 y + 1 = 0$ ，则直线 $m ： 3 x - 2 y - 6 = 0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m^{'}$ 的方程为（）

A、 $3 x - 16 y + 102 = 0$ B、 $9 x - 46 y + 102 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 8 = 0$ D、 $9 x - 46 y + 51 = 0$

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15、设 $x, y, z \in R, \vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (1, y, z), \vec{c} = (x, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、0 C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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16、对于直线 $l ： x + \sqrt{3} y + 4 = 0$ ，有以下说法，其中正确的是（）

A、倾斜角为 $120^{°}$ B、在 $x$ 轴上的截距为 $4$ C、原点到直线 $l$ 的距离为2 D、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1 ， \sqrt{3})$

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17、已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(5, 3)$ ，端点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$

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18、若直线 $4 x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $a x + 2 y = 0$ 平行，则两平行线间的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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19、几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、线段 $E B$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $D, M, N, C$ 四点共面？若存在，请求出 $\frac{B N}{B E}$ 的值；若不存在，并说明理由.

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20、 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O, G$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和重心，且 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{B A}$ ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 来表示 $\vec{A P}$ 和 $\vec{G P}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为3，求 $△ P B C$ 的面积；

(3)、若 $|B C| = 2 \sqrt{6}$ ，求 $\vec{G P} \cdot \vec{O C}$ 的值．

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