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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， AD=2，BC=1， $A B = \sqrt{3}$ ， M是PD的中点.

(1)、求证：直线 $C M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．

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2、某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
了解情况
非常了解
一般了解
不了解
人数（名）
580
320
100

(1)、从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；

(2)、该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.

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3、已知集合 $S = \{x \in Z |(x - 1) [x - (4 k + 1)] \leq 0, k \geq 2, k \in Z\}$ ，含两个元素的集合 $A = \{x_{1}, x_{2}\} \subseteq S$ ．
（1）若 $x_{1} + x_{2} \in S$ ，则满足条件的集合A的个数为；
（2）若 $\frac{2 x_{1} + x_{2}}{4} \in Z$ ，则满足条件的不同的有序数对 $(x_{1}, x_{2})$ 的个数为．（结果均要化简）

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4、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ， $D$ 是线段 $A C$ 上的动点， $E$ 、 $F$ 是线段 $A B$ 上的动点（ $F$ 在 $E$ 的右侧），且四边形 $D E F G$ 是正方形，则线段 $C G$ 长度的最小值是．

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5、已知 $\cos α + \cos β = \frac{1}{3}$ ， $\sin α + \sin β = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (α - β)$ = ．

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6、如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为 $\sqrt{2} cm$ .某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（）

A、截口曲线的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、该几何体的体积为 $8 {πcm}^{3}$ C、该几何体的侧面积为 $8 {πcm}^{2}$ D、该几何体的上截面面积为 $4 \sqrt{2} {πcm}^{2}$

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7、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = 4$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 的取值范围是 $[0, 9]$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$ 的最大值为30 C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$ 的最小值为 $- \frac{21}{2}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$ 的最小值为 $- 10$

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8、已知 $f (x)$ 是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对 $\forall x \in R$ 恒成立的是（）

A、 $f (x) = f (- x)$ B、 $f (1 + x) = f (1 - x)$ C、 $f (x) \geq f (\sin x)$ D、 $f (x) \leq |\sin \frac{π x}{2}|$

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 作直线l与双曲线 $C$ 的右支交于A，B两点，且 $|A B| = |B F_{1}|$ ， $\cos ∠ A B F_{1} = \frac{1}{9}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{20}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10、已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $12 \sqrt{3}$ ，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、3 D、 $2 \sqrt{6}$

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11、已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = a + 4 i$ （ $a \in R$ ， i为虚数单位），则“ $a = 2$ ”是“ $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X < 0.9) = 0.3$ ，则 $P (|X - 1| < 0.1) =$ （）

A、 $0.3$ B、 $0.4$ C、 $0.5$ D、 $0.6$

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0$ ， $a_{4} = 2 a_{2}$ ，则 $a_{1} + \frac{1}{d}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、已知圆M： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ，则圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(1, - 2)$ ， 4 B、 $(- 1, 2)$ ， 4 C、 $(- 1, 2)$ ， 2 D、 $(1, - 2)$ ， 2

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的无穷等差数列.若对于 $\{a_{n}\}$ 中任意两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在一项 $a_{i}$ ，使得 $a_{i} = a_{m} a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ .

(1)、已知 $a_{n} = 2 n$ ， $b_{n} = 4 n + 3 (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数；

(3)、若 $a_{1} = 18$ ，求具有性质 $P$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数.

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设过点 $M (0, 2)$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，点 $O$ 在以线段 $A B$ 为直径的圆外（ $O$ 为原点），求 $k$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = ln (a x) + x (a < 0)$ ．

(1)、若直线 $y = - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 在定义域内恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19、如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}, A S = C S$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面BDS；

(2)、若 $A B = 2, B S = \sqrt{3}, D S = 1$ ，求四棱锥 $S - A B C D$ 的体积.

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20、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{sin A - sin B}{c - b} = \frac{sin C}{a + b}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ， $B C = C D$ ，求 $cos B$ .

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