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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin 2 x + b cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 C、 $f (\frac{5 π}{6} - x) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{17 π}{12})$ 内有唯一的极小值点

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2、如图是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则两个三棱锥 $D - A_{1} B C_{1}$ ， $B_{1} - A D_{1} C$ 的公共部分的内切球的表面积为（）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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3、 $P$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a^{2})}^{2} = 1$ 上的动点， $Q$ 是直线 $y = x - 2$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8} - 1$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

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4、若 $a = {l o g}_{2} \sqrt{3}$ ， $b = {l o g}_{4} \sqrt{6}$ ， $c = {l o g}_{6} 3$ ，则（）

A、 $a = b = c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5、已知 $tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin θ cos θ + cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{11}{9}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\overset{⃑}{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $| \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、21 C、3 D、9

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7、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ （其中a、b、c不同时为0），点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} =$ $\frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，将其整理为一般式方程为 $a x + b y + c z - d = 0$ ，其中 $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ .

(1)、已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $\frac{x - 1}{\sqrt{3}} = \frac{y + 2}{2} = - z$ ，直线 $l_{2}$ 的方程为 $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- \sqrt{3}} = z - 5$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角的余弦值；

(2)、若直线 $l_{1} : \frac{x - 1}{2} = y = - (z - 1)$ 与直线 $l_{2} : - (x - 1) = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$ 都在平面 $α$ 内，求平面 $α$ 的一般方程；

(3)、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面 $α_{2}$ 经过三点 $P (4, 0, 0),$ $Q (3, 1, - 1),$ $H (- 1, 5, 2)$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面 $β_{2}$ 的一般式方程为 $x + 2 y + z + 4 = 0$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所在平面 $γ_{2}$ 的一般式方程为 $m x + 6 y + 2 m z + 1 = 0$ ，求实数m的值.

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8、已知直线 $l$ 过点 $P (2, 3)$ ，根据下列条件分别求出直线 $l$ 的方程．

(1)、 $l$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距互为相反数；

(2)、 $l$ 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点均在半径为1的球 $O$ 表面上，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动， $M N$ 为球 $O$ 的一条直径，则正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的范围是．

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10、已知直线 $y = (3 - 2 t) x - 5$ 不过第一象限，则实数t的取值范围为．

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱 $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为线段CM上的动点，则（）

A、平面CMN截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面形状是五边形 B、向量 $\vec{B N}$ 在向量 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ 上的投影向量的模为 $\frac{2}{3}$ C、存在点P，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、点P到棱 $D D_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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12、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C D$ 上运动，则（）

A、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，则平面 $B C_{1} P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、点 $P$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、异面直线 $B P$ ， $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$

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13、下列命题中正确的是（）

A、若 $A, B, C, D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、若直线 $l$ 的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角等于 $130 °$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角等于 $50 °$ C、已知向量 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 组是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\}$ 也是空间的一个基底 D、对空间任意一点 $O$ 与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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14、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $M$ 是正方形 $B B^{'} C^{'} C$ 的中心， $P$ 是 $△ A^{'} C^{'} D$ 内（包括边界）的动点，满足 $P M = P D$ ，则点 $P$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{14}$

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15、二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ， $C D = 2 \sqrt{17}$ ，则该二面角的大小为（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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16、如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则折后二面角 $E - O F - A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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17、如图， $M$ 是四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $M N = \frac{1}{2} O N, A P = \frac{3}{4} A N$ ，设向量 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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18、已知空间向量 $\vec{a} = (2, m, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 4, n)$ 共线，m， $n \in R$ ，则 $m + n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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19、“直线 $a x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $x + (a - 3) y - 2 = 0$ 平行”是“ $a = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1$ ， $g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $(2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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