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相关试卷

1、已知集合 $A = \{n |n = 4 k + 1, k \in Z\}$ ，集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $B \subseteq ∁_{Z} A$ C、 $A \cap B = B$ D、 $A \cup B \neq A$

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2、双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l ： y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 6$ ， $b_{2} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将集合 $\{x |x \in A 且 x \notin B\}$ 中的所有元素从小到大依次排列构成新数列 $\{C_{n}\}$ ，求数列 $\{C_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n}$ 表示自然数 $n$ 的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20， $a_{20} = 5$ ， 21的因数有1，3，7，21， $a_{21} = 21$ ，那么数列 $\{a_{n}\}$ 前 $2^{2023} - 1$ 项的和 $S_{2^{2023} - 1} =$

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5、某公司在某地区进行商品 $A$ 的调查，随机调查了100位购买商品 $A$ 的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品 $A$ 的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的 $46 %$ ，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品 $A$ 的概率

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6、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A₁处（A₁∉平面ABCD），若M为线段A₁C的中点，平面A₁DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A₁E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）

A、存在某个位置，使得BM⊥A₁D B、△A₁EC面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、sinα $= \sqrt{2}$ sinβ D、三棱锥A₁﹣EDC体积最大时，三棱锥A₁﹣EDC的外接球的表面积16π

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7、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in {1, 2, 3, \dots, 100}$ ．其中 $x_{i} > 1895 ， \sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5} ， \sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + {\hat{a}}_{1}$ ，残差为 ${\hat{e}}_{i}$ ．对样本数据进行处理： $x_{i}^{'} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $(x_{i}^{'}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + {\hat{a}}_{2}$ ，其残差为 $\hat{u_{i}}$ ， $\hat{e_{i}}, \hat{u_{i}}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} \sim N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 ${\hat{a}}_{1} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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8、已知函数 $f (x) = a x + \ln x + 1 - x e^{2 x}$ 对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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9、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，记 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心， $c$ 为半径的圆与双曲线 $M$ 在第一象限的交点为 $P$ .若 $|P F_{1}| = c + 4$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

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10、已知集合 $M = \{x |y = \ln x\}$ ，集合 $N = \{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x > 0$ 且 $x \neq 1\}$ B、 $\{x |x \neq 1\}$ C、 $\{x |x > 0\}$ D、 $\{x |x \neq 0\}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, m - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ ．

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12、设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： 2 x + y + 5 = 0$ ，点 $P$ 为 $l$ 上的一个动点．过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ．

(1)、当 $∠ A P B$ 最大时，求点 $P$ 的坐标；

(2)、求证：直线 $A B$ 恒过定点；

(3)、当 $|P O| \cdot |A B|$ 最小时，求直线 $A B$ 的方程．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，点 $E$ 在棱 $P C$ 上， $C E = 2 P E$ .

(1)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当直线DE与平面 $P B D$ 所成角最大时，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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14、如图，四边形ACC₁A₁与四边形BCC₁B₁是全等的矩形， $A B = \sqrt{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2} A A_{1}$ ．

(1)、若P是AA₁的中点，求证：平面PB₁C₁⊥平面PB₁C；

(2)、若P是棱AA₁上的点，直线BP与平面ACC₁A₁所成角的正切值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ，求二面角B₁﹣PC﹣C₁的余弦值．

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15、已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 10$ 和圆 $N ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 14 = 0 ．$

(1)、求证：圆 $M$ 与圆 $N$ 相交；

(2)、求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)、求经过圆 $M$ 与圆 $N$ 的交点，且面积最小的圆的方程．

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16、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B$ ∥ $D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ .点E为棱 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $B E ⊥ D C$ ；

(2)、 $B E$ ∥平面 $P A D$ ；

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17、《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在 $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$ ，点 $C$ 在第一象限，直线 $A C$ 的方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ ，圆 $E$ 与 $B A$ 延长线、 $B C$ 延长线及线段 $A C$ 都相切，则圆 $E$ 的标准方程为．

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18、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点．若弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m$ 的值是

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19、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (1, 3, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$

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20、下列说法正确的是（）

A、过 $A (1, 3), B (- 2, 0)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ B、经过点 $(- 1, 2)$ 的所有直线都可以用方程 $y - 2 = k (x + 1)$ 表示 C、直线 $y = 2 x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ D、点 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, - 6)$ 在同一条直线上

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