• 1、在如图所示的多面体ABCEFD中,已知四边形ACDE为菱形,其对角线ADCE相交于H点,G是棱BD的中点,EF//AB , 且EF=12AB.

    (1)、求证:FG//平面ACDE
    (2)、若AB平面ACDEAB=AC=AD=2 , 求平面ABC与平面BFD所成角的余弦值.
  • 2、我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖,某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障,在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年(年份代码分别记为:1,2,3,4,5,6,7,8)该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.

    年份代码i

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    科研经费xi(单位:百亿元)

    2

    3

    6

    10

    13

    15

    18

    21

    市场规模yi(单位:百万辆)

    1

    1

    2

    2.5

    3.5

    3.5

    4.5

    6

    参考数据:i=18xiyi=347i=18xi2=1308i=18yi2=93178542.25.

    参考公式:相关系数 r=i=1nxix¯yiy¯i=1nxix¯2i=1nyiy¯2.

    (1)、根据样本数据,推断两个变量是否线性相关,并计算样本相关系数,推断它们的线性相关程度(结果精确到0.01,当r越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当r越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱);
    (2)、已知在国内,新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p(p0,1),从国内新能源车主中随机抽取5人,记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X,若PX=5=PX=4 , 求随机变量X的数学期望和方差
  • 3、某无人机爱好者在2025年春节,设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵,方形阵分为A,B,C,D,E,F六个区域,呈现要求是:同一区域为相同颜色的无人机群,且相邻区域的无人机群颜色不能相同,B区域必须是红色无人机群,则不同的呈现方式共有种.

  • 4、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC是正三角形,D为AC的中点,点E在棱CC1上,且CE=2EC1 , 若AB=2AA1=3 , 则点A1到平面BDE的距离为.

  • 5、已知函数fx=lnx2xx , 则曲线y=fx在点1,3处的切线方程为.
  • 6、若函数fx满足:对任意x,yR , 恒有fx+y+fxy=2fxfy , 则称函数fx为“类余弦型”函数.已知函数fx为“类余弦型”,若fx>0 , 且对任意非零实数xfx>1.则下列结论正确的是(       )
    A、f0=1 B、f2=178 , 则f1=52 C、函数fx为偶函数 D、若有理数x1x2满足x2>x1 , 则fx2>fx1
  • 7、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0)的左、右焦点分别为F1c,0F2c,0F1F2=2 , 离心率为12 , 直线l过点F2与椭圆C交于M,N两点,若x轴上存在一定点P,使得PMN的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有(       )
    A、椭圆C的方程为x24+y23=1 B、MNF1的周长为4 C、定点P的坐标为P4,0 D、MNx轴时,PMN的内切圆圆心坐标为1+354,0
  • 8、将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移π6个单位长度,得到函数y=fx的图象,则下列结论正确的是(       )
    A、fx=sin2xπ3 B、函数fx的最小正周期为π C、函数fx的图象关于点5π12,0中心对称 D、函数fx在区间0,5π12内单调递增
  • 9、已知y=fx是定义在1,+上连续可导函数,其导函数为y=f'x , 若xf'x<fx , 且f3=6 , 则不等式flnx>2lnx的解集为(       )
    A、1,3 B、3,e2 C、1,e3 D、e,e3
  • 10、若P是△ABC所在平面内一点,则“PAPB=PA+PB2PC”是“△ABC为直角三角形”的(       )
    A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
  • 11、已知F1F2分别为双曲线C:x2a2y2b2=1a>0b>0)的左、右焦点,A为双曲线C上的一点,且AF1F1F2AF1=3F1F2=33 , 则双曲线C的离心率为(       )
    A、23 B、32 C、3 D、3
  • 12、已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,底面半径为2,该圆锥PO侧面展开图的圆心角为41313π , 则圆锥PO的体积为(       )
    A、4133π B、4π C、413π D、12π
  • 13、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c , 若3bsinC=2ccos2B2.则角B的大小为(       )
    A、π6 B、π3 C、2π3 D、5π6
  • 14、已知事件AB是相互独立事件,且PA=23PB=34 , 则PA¯ B¯=(       )
    A、112 B、12 C、512 D、1112
  • 15、设复数z满足z1+i2025=2+ii是虚数单位),则复数z的虚部为(       )
    A、32 B、32i C、12 D、12i
  • 16、已知集合A=0,1,2B=xNx23x<0C=1,2 , 则(       )
    A、A=B B、AB C、AB=C D、AB=C
  • 17、如图,在平面四边形ABCD中,ABC为等腰直角三角形,ACD为正三角形,ABC=90AB=2 , 现将DAC沿AC翻折至SAC , 形成三棱锥SABC , 其中S为动点.

    (1)、证明:ACSB
    (2)、若SCBC , 三棱锥SABC的各个顶点都在球O的球面上,求球心O到平面SAC的距离;
    (3)、求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.
  • 18、如图,在边长为a的正方形ABCD中,EF分别为边ABAD上的点,连接CECFEF , 将AEF沿着折线EF翻折,使点A到达点A1位置,连接A1C , 形成三棱锥A1CEF.

    (1)、若EF分别为边ABAD上的中点,A1ECF , 求此时三棱锥A1CEF外接球的表面积;
    (2)、若EF=BE+DFOAC的中点.

    (ⅰ)求ECF的大小;

    (ⅱ)若正方形边长为2+1 , 当SCEF取最小值,VA1CEF取最大值时,求此时直线A1E与平面A1OF所成角的正弦值.

  • 19、已知函数fx=ax2+a2xlnx.
    (1)、当a=1时,讨论fx的单调性;
    (2)、若fx有两个零点,f'xfx的导函数.

    (i)求实数a的取值范围;

    (ii)记fx较小的一个零点为x0 , 证明:x0f'x0>2.

  • 20、设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F , 过F且斜率为1的直线l与抛物线交于AB两点,AB=4.

    (1)求抛物线C的方程;

    (2)若A关于x轴的对称点为D , 求证:直线BD恒过定点,并求出该点的坐标.

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