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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义向量 $\vec{O A} = (m, n)$ 为函数 $f (x) = m \sin x + n \cos x$ 的有序相伴向量.

(1)、设 $\vec{O A} = (\sqrt{3}, 1)$ 为函数 $g (x) = sin (x + φ) - cos (\frac{4 π}{3} - x) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的有序相伴向量，求实数 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的有序相伴向量为 $\vec{O B} = (0, 1)$ ，若函数 $h (x) = f (x) + \sqrt{3} |\sin x|$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、将（1）中所得函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $F (x)$ .已知 $M (- 2, 3)$ ， $N (2, 6)$ ，请问在函数 $F (x)$ 图象上是否存在一点 $F$ ，使得 $\vec{F M} ⊥ \vec{F N}$ 成立.若存在，求出 $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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3、如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形 $C D E F$ 的四个顶点均在边界上，扇形 $A O B$ 的半径 $O A = 30 m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $∠ C D O = θ$ ， $D O$ ， $E O$ 分别交 $C F$ 于 $H$ ， $G$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{12}$ 时，求边 $D E$ 的长；

(2)、当矩形 $C D E F$ 的面积 $S$ 取最大值时，求 $\frac{H O}{D O}$ 的值.

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ 和非零向量 $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60 °$ .

(1)、求 $|\vec{b}|$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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5、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (- m, 4), \vec{b} = (m - 1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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7、已知等边 $△ A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 为边 $A C$ 的两个三等分点，点 $D$ 靠近点 $A$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上运动，设 $|\vec{B E} + \vec{D G}|$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M^{2} + 4 N^{2} =$ （）

A、8 B、10 C、19 D、 $\frac{115}{4}$

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，由 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四个点为顶点的正四面体 $B - A_{1} C_{1} D$ 的表面积为 $a^{2}$ ，则该正方体的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} a^{2}$ B、 $\sqrt{3} a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $\sqrt{6} a^{2}$

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D B} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列三点一定共线的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ B、 $A$ ， $B$ ， $D$ C、 $A$ ， $C$ ， $D$ D、 $B$ ， $C$ ， $D$

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10、已知 $△ A B C$ 的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 $b \cos A = 2 c \cos C - a \cos B$ ．

(1)、求角C的大小：

(2)、若 $c = 2, b^{2} + c^{2} = a^{2} + 4 a c \cos A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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11、如图，是一个半径为2千米，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形游览区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB上一点，且 $C D ∥ O A$ ，现在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧DB处每千米均为a元．设 $∠ A O D = x$ 弧度，广告位出租的总收入为y元．

(1)、求y关于x的函数解析式 $y = f (x)$ ，并写出该函数的定义域；

(2)、试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．

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12、已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - 2 \sin x \cos x - \sin^{4} x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若 $f (x_{0}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ， $\vec{c} = (4, - x)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线.

(1)、证明： $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $| \vec{a} + t \vec{c} | = \sqrt{10}$ ，求 $t$ 的值.

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14、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.
(1)求 $\sin 2 α$ 的值；
(2)求 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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15、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 3)$
（1）若 $\overset{⃑}{c} = 2 \overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}$ ，求 $\overset{⃑}{c}$ 的坐标；
（2）若 $λ \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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16、如图， $P$ 为矩形 $A B C D$ 边 $A B$ 中点， $M$ ， $N$ 分别在线段 $E F$ 、 $C D$ 上，其中 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $A E = B F = 1$ ，若 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{P N} = 4$ ，则 $|\overset{⃑}{P M} + \overset{⃑}{P N}|$ 的最小值为．

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17、已知 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, 2), \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量是（用坐标表示）

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18、函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x$ 的最大值为．

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19、已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α =$ .

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20、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、直线 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ D、方程 $f (x) = a$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个根时，实数 $a$ 的取值范围为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup {1}$

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