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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $b_{n + 1} = λ S_{n} + 1$ ，其中 $λ \neq - 1$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在（1）的条件下，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，已知 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ，证明： $\frac{5}{6} \leq T_{n} < 1$ ；

(3)、当 $λ = - \frac{4}{3}$ 时，若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{1} = μ$ （ $μ > 0$ ），且 $d_{n + 1} - d_{n} = - \frac{μ^{2}}{3} b_{n}$ ，若对任意正整数i，j（ $i \neq j$ ）， $|d_{i} - d_{j}| < 1$ 恒成立，求实数 $μ$ 的取值范围.

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2、在平面直角坐标系xOy中，动点 $P (x, y)$ （ $y \geq 0$ ）到点 $F (0, 1)$ 的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过直线l： $x - 2 y - 2 = 0$ 上一点Q作轨迹 $Γ$ 的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；

(3)、过点 $R (0, 4)$ 的动直线 $l^{'}$ 与轨迹 $Γ$ 交于C，D两点，直线CF交轨迹 $Γ$ 于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值.

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3、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} - a (\frac{1}{2} x - \ln x)$ ，其中 $a$ 为常实数.

(1)、当 $a = 4$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在其定义域内的单调性；

(2)、若 $x_{0}$ 是函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} a x$ 的极大值点，证明： $g (x_{0}) > x_{0}$ .

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4、在如图所示的多面体 $A B C - E F D$ 中，已知四边形 $A C D E$ 为菱形，其对角线 $A D$ 和 $C E$ 相交于H点，G是棱 $B D$ 的中点， $E F / / A B$ ，且 $E F = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $A C D E$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A C D E$ ， $A B = A C = A D = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $B F D$ 所成角的余弦值.

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5、我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）
2
3
6
10
13
15
18
21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 347$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 1308$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2} = 93$ ， $\sqrt{1785} \approx 42.25$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

(1)、根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当 $|r|$ 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 $|r|$ 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；

(2)、已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（ $p \in (0, 1)$ ），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若 $P (X = 5) = P (X = 4)$ ，求随机变量X的数学期望和方差

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6、某无人机爱好者在 $2025$ 年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为 $A, B, C, D, E, F$ 六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同， $B$ 区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则点 $A_{1}$ 到平面BDE的距离为.

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8、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为.

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9、若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类余弦型”函数.已知函数 $f (x)$ 为“类余弦型”，若 $f (x) > 0$ ，且对任意非零实数 $x$ ， $f (x) > 1$ .则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (2) = \frac{17}{8}$ ，则 $f (1) = \frac{5}{2}$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、若有理数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，则 $f (x_{2}) > f (x_{1})$

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10、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l过点 $F_{2}$ 与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得 $△ P M N$ 的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $△ M N F_{1}$ 的周长为4 C、定点P的坐标为 $P (4, 0)$ D、当 $M N ⊥ x$ 轴时， $△ P M N$ 的内切圆圆心坐标为 $(\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{4}, 0)$

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11、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 内单调递增

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12、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(1, + \infty)$ 上连续可导函数，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $f (\ln x) > 2 \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, e^{2})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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13、若P是△ABC所在平面内一点，则“ $|\vec{P A} - \vec{P B}| = |\vec{P A} + \vec{P B} - 2 \vec{P C}|$ ”是“△ABC为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且 $A F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|A F_{1}| = 3$ ， $|F_{1} F_{2}| = 3 \sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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15、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 \sqrt{13}}{13} π$ ，则圆锥PO的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $4 \sqrt{13} π$ D、 $12 π$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} b \sin C = 2 c \cos^{2} \frac{B}{2}$ .则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知事件 $A$ ， $B$ 是相互独立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{11}{12}$

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18、设复数z满足 $z (1 + i^{2025}) = - 2 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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19、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 3 x < 0\}$ ， $C = \{1, 2\}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cap B = C$ D、 $A \cup B = C$

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20、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $△ A C D$ 为正三角形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，现将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ S A C$ ，形成三棱锥 $S - A B C$ ，其中 $S$ 为动点.

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $S C ⊥ B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，求球心 $O$ 到平面 $S A C$ 的距离；

(3)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角余弦值的最小值.

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年份代码i	1	2	3	4	5	6	7	8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）	2	3	6	10	13	15	18	21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）	1	1	2	2.5	3.5	3.5	4.5	6