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1、下列说法正确的是（）

A、过 $A (1, 3), B (- 2, 0)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ B、经过点 $(- 1, 2)$ 的所有直线都可以用方程 $y - 2 = k (x + 1)$ 表示 C、直线 $y = 2 x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ D、点 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, - 6)$ 在同一条直线上

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2、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若平面向量 $\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}, \vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$

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3、已知直线 $l ： 2 x - 3 y + 1 = 0$ ，则直线 $m ： 3 x - 2 y - 6 = 0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m^{'}$ 的方程为（）

A、 $3 x - 16 y + 102 = 0$ B、 $9 x - 46 y + 102 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 8 = 0$ D、 $9 x - 46 y + 51 = 0$

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4、设 $x, y, z \in R, \vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (1, y, z), \vec{c} = (x, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、0 C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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5、对于直线 $l ： x + \sqrt{3} y + 4 = 0$ ，有以下说法，其中正确的是（）

A、倾斜角为 $120^{°}$ B、在 $x$ 轴上的截距为 $4$ C、原点到直线 $l$ 的距离为2 D、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1 ， \sqrt{3})$

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6、已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(5, 3)$ ，端点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1$

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7、若直线 $4 x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $a x + 2 y = 0$ 平行，则两平行线间的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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8、几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、线段 $E B$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $D, M, N, C$ 四点共面？若存在，请求出 $\frac{B N}{B E}$ 的值；若不存在，并说明理由.

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9、 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O, G$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和重心，且 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{B A}$ ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 来表示 $\vec{A P}$ 和 $\vec{G P}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为3，求 $△ P B C$ 的面积；

(3)、若 $|B C| = 2 \sqrt{6}$ ，求 $\vec{G P} \cdot \vec{O C}$ 的值．

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10、如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是．

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11、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角大小为.

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13、已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r₁和r₂ ，母线长为l，球的表面积与体积分别为S₁和V₁ ，圆台的表面积与体积分别为S₂和V₂.则下列说法正确的是（）

A、 $l = r_{1} + r_{2}$ B、 $R = \sqrt{r_{1} r_{2}}$ C、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ D、 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$

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14、任何一个复数 $z = a + b i$ （其中 $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）都可以表示成 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，通常称之为复数 $z$ 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： $z^{n} = {[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ $(n \in N_{+})$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）

A、 $|z^{2}| = {|z|}^{2}$ B、 $z^{3}$ 的实部为 $\cos 3 θ$ C、 $z \cdot \bar{z} = r^{2}$ D、若 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{4}$ 时，若n为偶数，则复数 $z^{n}$ 为纯虚数

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15、已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E，F分别为 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ ，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的截面，则所得截面的面积为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{30}$

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16、如图，为了测量两个信号塔塔尖 $M ， N$ 之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点 $P$ 与 $Q$ （ $M ， N ， P ， Q$ 在同一铅垂平面内）．已知在点 $P$ 处测得点 $M$ 的仰角为 $15^{\circ}$ ，点 $N$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，在点 $Q$ 处测得点 $M$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，点 $N$ 的仰角为 $15^{\circ} ， P Q = 400$ 米，则 $M N =$ （）米

A、 $200 (\sqrt{2} + 2)$ B、 $400 (\sqrt{3} + 1)$ C、 $400 \sqrt{6}$ D、 $400 \sqrt{5}$

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17、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 6, M ､ N$ 分别为边 $B C ､ C D$ 上的动点，且 $M N = 4$ .则 $|\vec{A M} + \vec{A N}|$ 的最小值为（）

A、8 B、16 C、 $4 \sqrt{13}$ D、 $8 \sqrt{5}$

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 2 C C_{1} = 4$ ， E，F分别为BC， $C C_{1}$ 的中点，点P在矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包括边界），若 $A_{1} P //$ 平面AEF，则动点P的轨迹长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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19、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A B / / C D$ B、 $E F / / A B$ C、 $G H / / A B$ D、 $G H / / E F$

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) \bar{z} = 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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