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相关试卷

1、给定两个随机变量 $(X, Y)$ 的5组成对数据： $(0, 1)$ ， $(1, 2)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 3)$ ， $(4, 5)$ .通过计算，得到 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程为 $\hat{Y} = 0.9 X + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、1 B、1.1 C、0.9 D、1.15

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与椭圆C有且仅有两个公共点．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得 $\vec{R P} \cdot \vec{R Q}$ 为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $a x - b y + a - b = 0$ ，求a，b；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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4、随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．

(1)、测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)、现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(2)、求二面角 $C - A_{1} B - B_{1}$ 的正弦值.

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6、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，且 $3 a cos C + c = 3 b$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，证明： $△ A B C$ 是等腰三角形．

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7、已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为．

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8、“新高考”后，普通高考考试科目实行“ $3 + 1 + 2$ ”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）

A、B与C相互独立 B、 $P (A ∣ D) = \frac{3}{5}$ C、 $P (B ∣ D) = \frac{1}{5}$ D、 $P (B + D) = \frac{11}{12}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3^{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 7$ B、 $\{S_{n}\}$ 是递增数列 C、 $\{a_{n} + 3^{n}\}$ 是等差数列 D、 $a_{10} = 2^{20} - 3^{10}$

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10、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11、某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（）

A、960种 B、836种 C、816种 D、720种

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12、内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（）

A、3h B、4h C、5h D、6h

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13、已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{a_{n}\}$ ，且 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、910 B、900 C、890 D、880

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14、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{6}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{5} x$ B、 $y = \pm \sqrt{6} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x$

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15、已知复数 $z$ 的模为 $\sqrt{10}$ ，实部为 $2$ ，则 $z =$ （）

A、 $\sqrt{6} + 2 i$ B、 $\sqrt{6} \pm 2 i$ C、 $2 + \sqrt{6} i$ D、 $2 \pm \sqrt{6} i$

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16、下列说法中正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 B、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | = 1$ C、 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ （m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D、若复数z满足若 $z \in C$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 - 4 i |$ 的最小值为4

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17、已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = e^{x} - a x - 1$ 有相同的最小值，求a的值；

(3)、证明：对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2!}) (1 + \frac{2}{3!}) \dots \dots (1 + \frac{n}{(n + 1)!}) < e$ （ $e$ 为自然对数的底数 $) .$

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18、某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)、当进行完3轮游戏时，总分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若累计得分为 $i$ 的概率为 $p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，初始分数为0分，记 $p_{0} = 1$
（i）证明：数列 $\{p_{i} - p_{i - 1}\} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ 是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ $(n \in N^{*})$ ， $S_{9} = 45$ ， $a_{2} + a_{3} = 5$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2024 - a_{n}}{a_{n + 1}}$ $(n \leq 2024, n \in N^{*})$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2024}$ $.$

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20、如图，边长为2的等边 $△ P D C$ 所在的平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $P D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $N$ 为直线 $P A$ 上一点，且 $M N ⊥ P A$ ，求直线 $D N$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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问题中没有语法错误	500	100