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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F (2, 0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2}$ 的两条切线，一条与 $C$ 的左支交于点 $M$ ，另一条与 $C$ 的右支交于点 $N$ （异于点 $P$ ）.
（ⅰ）证明： $O M ⊥ O P$ ；
（ⅱ）当 $△ P M N$ 的面积最小时，求直线 $P M$ 和直线 $P N$ 的方程.

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2、已知函数 $f (x) = e^{2 x}, g (x) = \sqrt{a x}$ （ $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ）.

(1)、若 $a > 0$ ，直线 $l : y = 2 x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 都相切，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D$ 为锐角， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}, C D$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $C_{1} M = 3 M D_{1}, A A_{1} = A B = 4$ ，点 $P$ 在直线 $E M$ 上.

(1)、证明： $E M / /$ 平面 $A B_{1} F$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $32 \sqrt{3}$ ，当直线 $F P$ 与平面 $A B_{1} F$ 所成角的正弦值最大时，求 $M P$ 的长.

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4、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C = A D = 4, ∠ C A D = 60 °, ∠ A B C = 90 °$ ，若 $△$ $A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 的面积的2倍，则 $B D$ 的长度为.

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5、一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为.

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6、若函数 $f (x) = {log}_{a} |x - m|$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是偶函数，且 $f (- 2) = 2$ ，则 $a =$ .

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7、已知 $A, B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $C$ 为该球面上的动点，球 $O$ 的半径为4， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，二面角 $O - A B - C$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、直线 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角为定值 C、三棱锥 $O - A B C$ 的体积的最大值为 $8 \sqrt{2}$ D、三棱锥 $O - A B C$ 的外接球的表面积为 $\frac{128}{3} π$

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8、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3, 4)$ ， $B (- 1, 2), C (1, 0)$ ，其“欧拉线”为 $l$ ，圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、过 $A$ 作圆 $M$ 的切线，切点为 $P$ ，则 $|A P|$ 的最小值为4 B、若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为2，则 $a = - 1$ C、若圆 $M$ 上有且只有两个点到 $l$ 的距离都为1，则 $- 1 - 2 \sqrt{2} < a < - 1 + 2 \sqrt{2}$ D、存在 $a$ ，使圆 $M$ 上有三个点到 $l$ 的距离都为1

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9、一组成对样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{n}, y_{n}) (n \geq 10, n \in N^{*})$ 的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ （其中 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ），由最小二乘法求得经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ），则（）

A、若 $r > 0$ ，则 $\hat{b} > 0$ B、若 $z_{i} = y_{i} - 2 (i = 1, 2,, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的样本相关系数 $r_{1}$ 等于 $r$ C、若 $z_{i} = 2 y_{i} (i = 1, 2,, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的样本相关系数 $r_{2}$ 大于 $r$ D、若 $z_{i} = 2 y_{i} (i = 1, 2, n)$ ，则成对数据 $(x_{i}, z_{i})$ 的经验回归方程 $\hat{z} = 2 \hat{b} x + 2 \hat{a}$

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10、已知函数 $f (x) = sin x + \frac{3}{2} sin 2 x + 2 (x - 1)$ 在 $[- 2 π, 2 π]$ 上的所有极值点从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) =$ （）

A、 $- 32$ B、 $- 16$ C、 $- 8$ D、 $- 4$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}| = |A B|, |B F_{1}| = a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 0, \\ x - \frac{a}{x}, x > 0, \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - a$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(0, 4]$ D、 $(4, + \infty)$

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13、已知 $θ \in (0, \frac{π}{2}), tan 2 θ = \frac{cos θ}{\sqrt{1 + sin 2 θ}}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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14、 $(x + \frac{1}{x}) {(1 - 2 x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、24 B、 $- 24$ C、 $- 36$ D、 $- 40$

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15、声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = 10 lg (\frac{I}{10^{- 12}})$ 给出，其中 $I$ 为声强（单位： $W / m^{2}$ ）.轻柔音乐的声强一般在 $10^{- 8} \sim 10^{- 6} W / m^{2}$ 之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A、 $0 \sim 20 dB$ B、 $20 \sim 40 dB$ C、 $40 \sim 60 dB$ D、 $60 \sim 80 dB$

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16、已知复数 $z$ 满足 $|z - 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 7\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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18、已知有穷等差数列 ${a_{n}} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m} (m \geq 3, m \in N^{*})$ 的公差d大于零．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 不是等比数列；

(2)、是否存在指数函数 $y = f (x)$ 满足： $y = f (x)$ 在 $x = a_{1}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{2}, 0)$ ， $y = f (x)$ 在 $x = a_{2}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{3}, 0)$ ， …， $y = f (x)$ 在 $x = a_{m - 1}$ 处的切线的交 $x$ 轴于 $(a_{m}, 0)$ ？若存在，请写出函数 $y = f (x)$ 的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列 ${b_{n}}$ ，求出所有可能的m的取值．

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $A, B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点， $C, D$ 分别为椭圆 $E$ 的上、下顶点，四边形 $A B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M 、 N$ 两点，直线 $A M$ 与 $B N$ 的交点为 $P$ ．
①若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $M N$ 的长度；
②试问 $∠ A P B$ 是否有最大值？如果有，求出 $∠ A P B$ 的最大值；如果没有，说明理由．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 6$ ，点 $N$ 为棱 $P D$ 的中点，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $A D = 3 A E$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A N$ ；

(2)、已知平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线 $l$ 与直线 $B E$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $N - B E - D$ 的余弦值.

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