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相关试卷

1、下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且 $A$ ， $B$ ， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 C、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A O B$ 的面积之比为 $\frac{3}{5}$

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2、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $a > b$ B、 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ C、若 $\sin A < \sin C$ ，则 $\cos A < \cos C$ D、 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$

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3、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = (\vec{O C} + \vec{O A}) \cdot \vec{C A} = 0$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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4、平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = (4, 0)$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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5、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 3, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 2)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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7、 $\tan 150 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知事件A，B满足 $0 < P (A) < 1, P (B) > 0$ 且 $P (B| A) = P (B) = 0.5$ ，则一定有（）

A、 $P (\bar{B}) = 0.5$ B、 $P (A B) = 0.5$ C、 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A| B) = P (A)$

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9、若 ${(\ln x - m x - n - 1)}_{\max} = 0 (m > 0)$ ，则 $m n$ 的最大值为（）

A、 $e^{3}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 3}$

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10、人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了 $A$ ， $B$ 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 $A$ ， $B$ 两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌， $A$ ， $B$ 两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过.

(1)、若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的 $\frac{3}{5}$ ；在正确识别的音乐中 $A$ 组占 $\frac{2}{3}$ ；在错误识别的音乐中 $B$ 组占 $\frac{1}{2}$ .
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？
单位：首
软件类型
识别音乐是否正确
合计
正确
错误
$A$ 组的AI软件

$B$ 组的AI软件

合计

100
（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率.

(2)、研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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11、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域 $(- 2, 2)$ 上的单调性（不用证明），并解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ .

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12、4名男生和3名女生站成一排．

(1)、甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)、甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

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13、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{1}{b}, \frac{1}{a}]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数 $f (x)$ 的一个“倒值区间”．已知定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ ，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，则函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的“倒值区间”为．

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14、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字作答）．

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15、下列说法正确的有（）

A、若随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (X < 4) = 0.79$ ，则 $P (X \leq - 2) = 0.21$ B、若随机变量 $X \sim B (10, \frac{1}{3})$ ，则方差 $D (3 X + 2) = 22$ C、从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布 D、已如随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $P (X = 2) = \frac{2}{9}$

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16、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ .则下列结论成立的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $a_{2} = - 112$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 3^{8}$

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17、甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组．已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（）

A、45种 B、81种 C、90种 D、162种

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18、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 2)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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19、已知事件A与B独立，当 $P (A) > 0$ 时，若 $P (B | A) = 0.32$ ，则 $P (B) =$ （）

A、0.34 B、0.68 C、0.32 D、1

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20、下列选项中，表示的是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (t) = |t|$ C、 $f (x) = {(x - 1)}^{2}, g (x) = {(x - 2)}^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}, g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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软件类型	识别音乐是否正确		合计
软件类型	正确	错误	合计
$A$ 组的AI软件
$B$ 组的AI软件
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828