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相关试卷

1、下列命题正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 是同一函数 B、命题 $P$ ： $\exists x \in R$ ， $\frac{1}{x - 2} \leq 0$ ；则它的否定 $\neg P$ 是： $\forall x \in R$ ， $\frac{1}{x - 2} > 0$ ，或 $x = 2$ C、“ $- 1 < m < 0$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} - 3 m x - 4 \geq 0$ 解集为 $\emptyset$ ”的充分不必要条件 D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，那么 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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2、关于基本不等式，下列选项正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 B、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 最小值为2 C、若 $x < - 1$ ，则 $x + \frac{1}{x + 1}$ 的最大值为 $- 1$ D、 $y = x (4 - 3 x)$ 取得最大值为2

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3、若关于 $x$ 的不等式 $2 x (x - 1) + 2 \geq a (x - 1)$ 对于一切 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6]$ D、 $[6, + \infty)$

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4、若 $- 1 < a - b < 1$ ， $0 < a + 2 b < 2$ ，则 $2 a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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5、不等式 $(x + 1) (x - 2) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ C、{ $x |x > - \frac{1}{2}$ 或 $x \leq - 1$ } D、 $x |x > 2$ 或 $x < - 1\}$

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6、命题“ $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} - 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} - 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} - 1 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} - 1 > 0$

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- 2, 0)$ ，左､右顶点分别为 $A, B$ ，上顶点为 $P, cos ∠ A P B = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $M, N$ ，且 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ ？若存在，求圆的方程以及 $|M N|$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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8、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ， $D D_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $D D_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $A B$ 夹角的余弦值．

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9、如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，从点 $P (1, 0)$ 射出的光线经直线 $A B$ 反射到 $y$ 轴上，再经 $y$ 轴反射后又回到点 $P$ ，则光线所经过的路程的为.

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10、直线l过点 $(3, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为．

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11、两条平行直线 $l_{1} : 2 x + 4 y - 6 = 0$ 与 $l_{2} : x + 2 y - 1 = 0$ 之间的距离是．

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12、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $x - a y - 2 = 0$ 与直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时，m的值为 $- 1$ D、已知直线l过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3), B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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13、已知椭圆E的焦点为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆E交于A，B两点若 $| A B | = |B F_{1}|, |A F_{2}| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、若 $\sin (α + \frac{3 π}{2}) + 3 \cos (α - \frac{π}{2}) = 0$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\pm \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\pm \frac{3}{5}$

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15、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + x + y - 5 = 0$ 相交，则相交的公共弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、5 D、2

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16、设 $a = 2^{1.1}$ ， $b = \lg 2$ ， $c = \ln \frac{1}{2}$ 则a、b、c的大小顺序为( )

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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17、已知直线l倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且过点 $A (4, 1)$ ，则直线l的方程为（）

A、 $y - 1 = - \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 4)$ B、 $y - 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 4)$ C、 $y - 1 = - \sqrt{3} (x - 4)$ D、 $y - 1 = \sqrt{3} (x - 4)$

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18、已知 $(1 + i) \bar{z} = 1 + 3 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、2

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19、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x \leq 0\}, B = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 2 < x < 4}$ D、 ${x ∣ 2 \leq x \leq 4}$

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20、已知点E是圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点 $F (- 3, 0)$ ， M是线段EF的中点，P（m，0）（ $m \neq 0$ ）是x轴上的一个动点．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、当点M的轨迹上存在点Q，使 $∠ O P Q = 30 °$ ，求实数m的取值范围；

(3)、当 $m = 1$ 时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - 3$ ．求证：直线AB恒过定点．（其中 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ 分别为直线PA与直线PB的斜率）．

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