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相关试卷

1、对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ ，（ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），令 $\vec{S_{n}} = \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} + \dots + \vec{a_{n}}$ ，如果存在 $\vec{a_{p}}$ （ $p \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ），使得 $|\vec{a_{p}}| \geq |\vec{S_{n}} - \vec{a_{p}}|$ ，那么称 $\vec{a_{p}}$ 是该向量组的“长向量”.

(1)、设 $\vec{a_{n}} = (n, x + 2 n)$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，若 $\vec{a_{3}}$ 是向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ 的“长向量”，求实数x的取值范围；

(2)、若 $\vec{a_{n}} = (\sin \frac{n π}{2}, \cos \frac{n π}{2})$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{7}}$ 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；

(3)、若对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ （ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），记 $T = \{\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}, \dots, \vec{a_{n}}\}$ 已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证： $\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \dots + \vec{a_{n}} = \vec{0}$ .

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2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (b, a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c, c - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、若边 $a = 8$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $∠ B A C$ 的平分线交BC边于点D.求AD的长；

(2)、若E为BC边上任意一点， $A E = 1$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{2 c}{b}$ .
（ⅰ）用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（ⅱ）求 $2 b + c$ 的最小值.

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3、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = 4$ ， $A B = 2$ ， E为SC中点.

(1)、求证： $S A ∥$ 平面BDE；

(2)、求该正四棱锥的外接球的表面积；

(3)、求三棱锥 $E - B C D$ 的表面积和体积.

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4、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $C C_{1}$ 的中点，过A， $D_{1}$ ， E三点的平面 $α$ 与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)、在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；

(2)、平面 $α$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分，求这两部分的体积之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ （其中 $V_{1} \leq V_{2}$ ）；

(3)、若点P是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} P ∥ α$ ，当 $A_{1} P$ 最小时，求 $A_{1} P$ 长度的最小值.

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5、在 $Δ A B C$ 中，已知 $A = 15^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $c = 3 + \sqrt{3}$ ，解这个三角形．

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6、在圆内接四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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7、如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 105 °$ ， $C D = 20 m$ ，在点C处测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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8、若3+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值是.

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点P为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面ABC的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、直线 $A_{1} B$ 与直线CD可能相交 D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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10、欧拉公式： $e^{i θ} = cosθ + i sinθ (i$ 是虚数单位， $e = 2.718 \dots$ ， $θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 $θ = π$ 可得 $e^{i π} + 1 = 0$ .它又将自然界中的两个重要的无理数 $π$ 和 $e$ 、实数单位 $1$ 、虚数单位 $i$ 以及复数中的 $0$ 巧妙地结合在一起 $.$ 被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等 $.$ 下列关于欧拉公式的叙述正确的有（）

A、 $e^{2025 π i} - 1 = 0$ B、复数 $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限 C、 $|e^{x i}| = 1$ D、 $\bar{(e^{i θ})} = e^{\bar{i θ}}$

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c = b (1 + 2 cos A)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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12、如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1，两个圆锥的母线长分别为 $2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该几何体内切球的半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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13、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， $P$ 为圆锥的顶点， $A$ ， $B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为 $6 π$ ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）

A、 $(33 + 9 \sqrt{2}) π$ B、 $(24 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(33 + 18 \sqrt{2}) π$ D、 $(24 + 18 \sqrt{2}) π$

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14、 $(1 - 5 i) (4 + 3 i)$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数： $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)$ 的值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $\cosh (x + y) = \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y)$ ；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $4 m \cosh^{2} (x) - 2 \sinh (2 x) - 3 \geq 0$ 在 $[\ln 2, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{C P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{A Q}$ ， $\vec{P Q} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{P Q}$ 的值．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x$ .在 $△ A B C$ 中， $f (B) = f (C)$ ，且 $b \neq c$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、若 $a = 5$ ， $b + c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、若函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 1 (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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20、计算： $8^{- \frac{2}{3}} + {log}_{9} 8 \cdot {log}_{2} 3 =$ ．

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