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相关试卷

1、已知实数 $a, b \in (0, + \infty)$ ，且 $a + \frac{2}{b} = 2$ ，则（）

A、 $0 < a < 2$ B、 $0 < b < 1$ C、 $a - b \leq 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{a}{b} \geq \frac{1}{2}$

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2、已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + 2 z + 3 = 0, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $z + \bar{z} = 2$ B、 $z \cdot \bar{z} = 3$ C、 $|z| = \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} \in R$

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3、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，对任意的 $x_{1} > x_{2} \geq 0$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，记 $a = f (e^{\frac{2}{3}})$ ， $b = f (2), c = f ({log}_{2} \frac{1}{5})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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4、在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{- x}, y = {log}_{a} (x + \frac{1}{2}), (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图所示，已知正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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6、已知复数 $z = \frac{3 i - 1}{i + 1}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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7、已知向量若向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角.

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \sqrt{2}, B = 60^{\circ} .$
（1）若 $C = 75^{\circ}$ ，求 $b$ 的值；
（2）若 $b = \sqrt{14}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ .若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ $(λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最小值是．

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10、已知 $f (x) = \tan x \cdot (e^{x} + e^{- x}) + 6$ ， $f (t) = 8$ ，则 $f (- t) =$ ．

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11、下列命题中错误的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2 π}{3}$

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12、探索下图所呈现的规律，判断2 015至2 017箭头的方向是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C E$ 的中点，则 $\vec{B F} =$ （　　）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$

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14、作用于原点的两个力 $\overset{⃑}{F_{1}} = (1, 1), \overset{⃑}{F_{2}} = (2, 3)$ ，为使它们平衡，需加力 $\overset{⃑}{F_{3}}$ 等于（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 3, - 4)$ D、 $(2, 3)$

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15、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ．

(1)、已知平面内点 $A (2, 4)$ ，点 $B (2 + \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ ，若把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、已知 $\vec{A B} = (1, 1)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ， $\vec{C D} = (2, 6)$ ，若 $\vec{A P} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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16、如图所示，在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 及 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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17、“广佛之眼”摩天轮半径为 $50 m$ ，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心 $O$ 距地面的高度为 $60 m$ ，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 $15 min$ 转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱 $10 min$ 时他距离地面的高度为 $m$ ．

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18、如图，为测量海岛的高度 $A B$ 以及其最高处瞭望塔的塔高 $B C$ ，测量船沿航线 $D A$ 航行，且 $D A$ 与 $A C$ 在同一铅直平面内，测量船在 $D$ 处测得 $∠ B D A = α$ ， $∠ C D A = β$ ，然后沿航线 $D A$ 向海岛的方向航行 $m$ 千米到达 $E$ 处，测得 $∠ B E A = γ$ ， $∠ C E A = δ$ （ $δ > γ > β > α$ ，测量船的高度忽略不计），则（）

A、 $A B = \frac{m \sin γ \sin α}{\sin (δ - α)}$ B、 $B D = \frac{m \sin γ}{\sin (γ - α)}$ C、 $B C = \frac{m \sin α}{\cos δ \sin (γ - α)}$ D、 $C D = \frac{m \sin δ}{\sin (δ - β)}$

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19、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{3}$ ，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a$ ， $b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ ，则该坐标系中 $M (3, 3)$ 和 $N (2, 1)$ 两点间的距离为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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20、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} \cos θ - y_{k} \sin θ, x_{k} \sin θ + y_{k} \cos θ)$ ， $(0 < θ < π)$

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $S_{△ O A B} = S_{△ O A^{'} B^{'}}$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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