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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - 3 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (a) = f^{'} (b) = f^{'} (c)$ ，其中 $a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的所有极值点之和为0 B、 $f (x)$ 的极大值点之积为2 C、 $a b + a c + b c = - 1$ D、 $a b c$ 的取值范围是 $(- 32 \sqrt{3}, 32 \sqrt{3})$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 16$ ，公差 $d = - 4$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ， $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.以下说法正确的是（）

A、 $b_{n} = 17 - n$ B、 $b_{29}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的第8项 C、当 $n = 17$ 时， $S_{n}$ 最大 D、 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为 $- 1$ 的等差数列

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x^{2}, - 2 \leq x \leq 0 \\ 1 + \ln x, 0 < x \leq e \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - m - 1$ 恰有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}$ 的最大值和最小值的差是（）

A、 $2 + e^{- 3}$ B、 $4 + e^{- 3}$ C、 $2 - e^{- 3}$ D、 $4 - e^{- 3}$

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5、已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{a \sin A + c \sin C - b \sin B}{a \sin B \sin C}$ $= 2 \sqrt{3}$ ，在 $△ A B C$ 所在平面内以AC为边向外作 $△ A C D$ 如图所示， $A D = 3$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{D C} = - 3$ ， $S_{△ A C D} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求B；

(2)、求 $△ A C D$ 的内切圆半径r；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积的取值范围.

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6、在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{D C} = 2 \vec{A B}$ ， $\vec{E C} = 2 \vec{D E}$ ， $\vec{B F} = \vec{F C}$ ， AC与EF交于点G，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B F}$ ；

(3)、设点G到AB，CD的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ，求 $\frac{h_{1}}{h_{2}}$ 的值.

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7、已知函数 $f (x) = a^{2 x}$ ， $g (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），函数 $y = f (x) + g (x)$ 的图象经过点 $(0, 3)$ .

(1)、求关于x的不等式 $f (x) \geq 3 a^{- 2 x} + 2$ 的解集；

(2)、若函数 $y = g (x) - x - k$ 有两个零点，求实数k的取值范围.

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8、如图1，正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.

(1)、求正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的体积；

(2)、若正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.

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9、已知 $\frac{2 i + a}{i} = a + (b - 1) i$ ，其中a， $b \in R$ .

(1)、求a，b；

(2)、设 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，若 $|z - (a + b i)| = |z|$ ，证明： $4 x - 2 y - 5 = 0$ .

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10、在三棱锥 $P - A B C$ 中，AP，AB，AC两两垂直， $A B = A C = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ .以PA为直径的球O与PB，PC分别交于点D，E，则 $\cos ∠ D A E =$ .

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11、已知函数 $f (x) = 4^{x} - 4^{- x} + x^{3}$ ，则不等式 $f (x - 3) + f (2 x - 1) \leq 0$ 的解集是.

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12、一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的两个虚根为.

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c} = 4 \cos A$ ，则（）

A、 $\frac{π}{3} \leq A < \frac{π}{2}$ B、 $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ C、若 $A = \frac{π}{4}$ ， $B > C$ ，则 $B = \frac{5 π}{8}$ D、若 $\cos (B - C) = \frac{1}{6}$ ，则 $\cos A = \frac{2}{3}$ 或 $\cos A = - \frac{3}{4}$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (2 x - \frac{π}{12})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{24}, 0)$ 对称

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15、2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点， $\vec{A H} = 2 \vec{H B}$ ， $\vec{A G} = 2 \vec{G D}$ ，则下列等式一定成立的是（）

A、 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A D} + \vec{D C}$ C、 $\vec{H G} + \vec{G D} = \vec{A D} - \vec{A H}$ D、 $\vec{E F} = \frac{3}{4} \vec{H G}$

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16、已知 $a = 0.7 \lg 0.6$ ， $b = 0.6 \lg 0.7$ ， $c = \log_{2} 3$ ， $d = \log_{3} 5$ ，则（）

A、 $a > b$ ，且 $c > d$ B、 $a < b$ ，且 $c < d$ C、 $a > b$ ，且 $c < d$ D、 $a < b$ ，且 $c > d$

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17、如图，不共线且不垂直的单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，以点 $O$ 为原点， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的正方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴建立坐标系，该坐标系称为 $θ -$ 斜坐标系.若 $\vec{O P} = x e_{1} + y e_{2}$ ，则称 $(x, y)$ 为 $\vec{O P}$ 在 $θ -$ 斜坐标系中的坐标，若 $\cos θ = - \frac{2}{3}$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $θ -$ 斜坐标系中的坐标分别为 $(1, 1)$ ， $(2, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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18、将函数 $y = \tan (2 x + φ) (φ > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (π) = 1$ ，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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19、利用斜二侧画法画出 $△ A B C$ 的直观图如图阴影部分所示，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ， $B^{'}$ 是线段 $O^{'} C^{'}$ 的中点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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20、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为不共线向量， $a = k \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $b = - \frac{2}{k} \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为共线向量，则 $k =$ （）

A、2 B、4 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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