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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $b \sin A = a \sin (\frac{π}{3} - B)$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $△ A B C$ 的周长为 $8+4 \sqrt{3}$ ；
条件②： $\cos A = \frac{4}{5}$ ；
条件③： $b = 6$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $0$ 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = A D = 4$ ， E是 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与线段 $P D$ 交于点F.

(1)、求证： $A B // F E$ ；

(2)、若 $C F = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值.

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3、在平面内，到两个定点 $A (- a, 0)$ 和 $B (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹是一条优美的曲线，设点P在轨迹曲线C上，有以下结论：
①曲线C关于原点对称；
②当 $a = 1$ 时，P点的横坐标不超过 $\sqrt{2}$ ；
③ $△ P A B$ 的面积可以等于 $\frac{3}{4} a^{2}$ ；
④点P到原点距离 $|O P| \leq \sqrt{2} a$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的首项均为－3，且 $a_{3} = 1$ ， $a_{4} = 8 b_{4}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的最大值为.

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5、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) + \cos 2 x, | φ | < \frac{π}{2}$ 且 $f (0) = \frac{1}{2}$ ，则 $φ =$ ，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = m$ 恰有一个公共点，写出一个满足条件的 $m$ 值.

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6、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F到其准线的距离为；抛物线上一点M，且 $| M F | = 7$ ，则M点的横坐标为.

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7、已知函数 $f (x) = |\ln |x|| - k x + 1$ ，给出下列四个结论：
① $\exists k < 1$ ，使得 $f (x)$ 为偶函数；
② $\exists k > 1$ ，使得 $f (x)$ 存在最小值；
③ $\forall k > 1$ ， $f (x)$ 在 $（ 0, + \infty ）$ 上单调递减；
④ $\exists k > 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点；
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、在 $△ A B C$ 中， $A C = A B = 2$ ， $∠ A = 120^{\circ}$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} = 2$ ，则 $|\vec{B D}| + |\vec{A D}|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{10}$

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9、长度为4的线段 $A B$ 的两个端点分别在 $x$ 轴及 $y$ 轴上运动，则线段 $A B$ 的中点到直线 $3 x - 4 y + 20 =0$ 距离的最大值为（）

A、 $1$ B、3 C、4 D、6

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10、中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下： $A B = 4, A D = 2, E F = 2$ ，且各侧面与底面ABCD所成角均为 $\frac{π}{4}$ ，则该“刍甍”的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、8 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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12、已知 $P (m, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 为角 $α$ 终边上一点，“ $m = \frac{1}{2}$ ”是“ $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、在 ${(x - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为（）

A、6 B、 $- 6$ C、24 D、 $- 24$

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14、在复平面内，复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点的坐标是（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(3, - 1)$

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15、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $B = {x | x - 1 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x | x > 1\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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16、某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值与样本成绩的平均数；

(2)、用分层随机抽样的方法从 $[70, 80)$ ， $[90, 100]$ 两个区间共抽取出8名学生，再从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间 $[70, 80)$ 的概率；

(3)、学校决定从知识竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $p$ ，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是 $\frac{41}{50}$ ，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．

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17、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A A_{1} = A_{1} C_{1} = C_{1} C = 2$ ， $A C = 4, A_{1} B = 2 \sqrt{2}, A B = B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值．

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18、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马” $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 2 P A = 4$ ， $F$ 是棱 $B C$ 的中点，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点，则当 $△ P E F$ 的周长最小时，三棱锥 $P - A E F$ 外接球的表面积为．

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19、若“ $\forall α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{1}{{sin}^{2} α} + \frac{4}{{cos}^{2} α} \geq m$ 恒成立”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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20、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{23}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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