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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x} (0 < a < 1)$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的定义域 $D$ ，并判断 $f (x)$ 的奇偶性；
（2）如果当 $x \in (t, a)$ 时， $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 1)$ ，求 $a$ 与 $t$ 的值；
（3）对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，是否存在 $x_{3} \in D$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，若存在，求出 $x_{3}$ ；若不存在，请说明理由．

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2、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ， $P (1, 3)$ ， $Q (3, 1)$ ， $M (- 3, 1)$ ， $N (0, 2)$ 这四点中恰有三点在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点E是椭圆C上的一个动点，求 $△ E M N$ 面积的最大值；

(3)、过 $R (0, 1)$ 的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率 $k > 0$ ，在x轴上是否存在一点 $D (m, 0)$ ，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

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3、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (2 \sin B, 2 \cos B)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{3} \cos B, - \cos B)$ ，且 $\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} = 1$ .
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2 ， PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.

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5、已知集合 $M = {(x, y) | y = f (x)}$ ，若对于任意实数对 $(x_{1}, y_{1}) \in M$ ，存在 $(x_{2}, y_{2}) \in M$ ，使得 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 成立，则称集合 $M$ 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：① $M = \{(x, y)| y = \frac{1}{x}\}$ ；② $M = \{(x, y)| y = e^{x} - 2\}$ ；③ $M = \{(x, y)| y = \cos x\}$ ；④ $M = \{(x, y)| y = \ln x\}$ ．其中是“垂直对点集”的序号是（）

A、①②④ B、②③ C、③④ D、①③④

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6、已知 $\cos \frac{θ}{2} = \frac{4}{5}$ ，且 $\sin θ < 0$ ，则 $\tan θ$ 的值为

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\pm \frac{24}{7}$ C、 $- \frac{24}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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7、设 $k \in R$ ，函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图像与直线 $y = k x + 1$ 有四个交点，且这些交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}}{k}$ 的取值范围为.

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8、在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ，且 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的数量投影是-2，则 $|\vec{B C} - λ \vec{B A}| (λ \in R)$ 的最小值为.

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9、从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.（结果用数值表示）

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10、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为 $2 πcm$ ，半径为 $\sqrt{2} cm$ ，则该圆锥的体积等于 ${cm}^{3}$ ．

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11、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{15}$ 的二项展开式中的常数项是(用数值作答)．

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12、直线 $l_{1} : \sqrt{3 x} - y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + 5 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为．

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13、若复数 $z$ 满足 $z = i (2 - z)$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ .

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14、函数 $y = 1 - 2 \sin^{2} x$ 的最小正周期为．

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15、函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1 (x \in [- 1, 1])$ 的最大值等于.

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16、数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 $a_{n} =$ ．

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17、不等式 $\frac{3 - x}{x + 4} \leq 0$ 的解集是．

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18、设集合 $A = \{x |2 x - 1 \geq 0, x \in R\}$ ， $B = \{x ||x| < 2, x \in R\}$ ，则 $\bar{A} \cap B =$ ．

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19、给定整数 $n \geq 3$ ，由 $n$ 元实数集合 $S$ 定义其相伴数集 $T = \{|a - b| ∣ a ､ b \in S, a \neq b\}$ ，如果 $min (T) = 1$ ，则称集合S为一个 $n$ 元规范数集，并定义S的范数 $f$ 为其中所有元素绝对值之和.

(1)、判断 $A = \{- 0.1, - 1.1, 2, 2.5\}$ 、 $B = \{- 1.5, - 0.5, 0.5, 1.5\}$ 哪个是规范数集，并说明理由；

(2)、任取一个 $n$ 元规范数集S，记 $m$ 、 $M$ 分别为其中最小数与最大数，求证： $|min (S)| + |max (S)| \geq n - 1$ ；

(3)、当 $S = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2023}\}$ 遍历所有2023元规范数集时，求范数 $f$ 的最小值.
注： $min (X)$ 、 $max (X)$ 分别表示数集 $X$ 中的最小数与最大数.

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20、对于二次函数 $y = m x^{2} + n x + t (m \neq 0)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $m x_{0}^{2} + n x_{0} + t = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为二次函数 $y = m x^{2} + n x + t (m \neq 0)$ 的不动点.

(1)、求二次函数 $y = x^{2} - x - 3$ 的不动点；

(2)、若二次函数 $y = 2 x^{2} - (3 + a) x + a - 1$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

(3)、若对任意实数 $b$ ，二次函数 $y = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1) (a \neq 0)$ 恒有不动点，求 $a$ 的取值范围.

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