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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = e^{x} \cos x$ .
（Ⅰ）函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ ，分析 $h (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调性.
（Ⅱ）若函数 $H (x) = g (x) - x f (x)$ .
（i）当 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 时，求 $H (x)$ 的最小值；
（ii）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，求 $H (x)$ 零点的个数.

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2、已知 $\tan x = 2$ ，求：

(1)、 $\frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}$ 的值.

(2)、 $2 \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x$ 的值.

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3、已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是立方米.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{20} =$ ．

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5、函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ 的图象的一个对称中心的坐标是.

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6、下列函数，最小正周期为 $π$ 的偶函数有（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = 2 \cos x$ D、 $y = \sin (\frac{π}{2} - 2 x)$

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7、已知函数 $f (x) = \log_{3} \frac{2 - x}{2 + x}$ ，若 $f (a) + f (a - 1) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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8、已知 $a = 3^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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9、为了得到函数的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点

A、向左平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $1$ 个单位长度 D、向右平行移动 $1$ 个单位长度

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10、对于数集M，定义M的特征函数： $f_{M} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \notin M \\ - 1, x \in M \end{array}$ ，对于两个数集 $M 、 N$ ，定义 $M \otimes N = \{x ∣ f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1\}$ .

(1)、已知集合 $A = {1, 3, 7, 9}, B = {2, 3, 7, 8}$ ，
（i）求 $f_{A} (1)$ 的值，并用列举法表示 $A \otimes B$ ；
（ii）若用 $card (M)$ 表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求 $card (X \otimes A) + card (X \otimes B)$ 的最小值（无需证明）；

(2)、证明： $f_{A \otimes B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$ .

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11、已知 $f (x) = \frac{b x + c}{4 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的函数，若满足 $f (x) + f (- x) = 0$ 且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明你的结论；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [1, 2]$ 都有 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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12、习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144), \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500), \end{array}$ ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 上单调，求b的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，求关于x的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集．

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14、已知集合 $U$ 为全体实数集，集合 $A = {x ∣ x < - 2$ 或 $x > 5}$ ， $B = \{x| a + 1 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{U} A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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15、已知 $a > 0$ ，集合 $A = \{x | x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 a x - 3 \leq 0\}$ ，若 $A \cap B$ 中恰有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，在 $(- \infty, 0]$ 上为单调增函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为．

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17、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 0.96)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} =$ .

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18、设函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ ； B、任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ； C、任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ； D、规定 $f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $f_{n} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{n + 2}$ .

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19、下列函数中，是偶函数且值域为 $[0, + \infty)$ 的有（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = |x^{2} - 2|$ C、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ D、 $y = x^{2} - 2 | x |$

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20、已知函数 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{2}{x}$ ，记 $F (x) = \max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ ，则下列关于函数的说法不正确的是（）

A、当 $x \in (0, 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减 D、若关于x的方程 $F (x) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则 $- 2 < m < - 1$ 或 $m > 1$

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