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1、已知p：关于x的方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + a - 1 = 0$ 有实数根， $q : m - 1 \leq a \leq m + 3$ ．

(1)、若命题 $\neg p$ 是假命题，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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2、已知非空集合 $A = {x ∣ a - 1 \leq x \leq 2 a + 3}$ ， $B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 4}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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3、已知集合 $A = \{x| a + 2 \leq x \leq 3 a - 4\} (a \in R) ， B = \{x| 8 \leq x \leq 12\}$ .

(1)、若 $A \cup ∁_{R} B = R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、对于一个由整数组成的集合 $A$ ， $A$ 中所有元素之和称为 $A$ 的“小和数”， $A$ 的所有非空子集的“小和数”之和称为 $A$ 的“大和数”．已知集合 $B = \{- 7, - 3, - 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13\}$ ，则 $B$ 的“小和数”为， $B$ 的“大和数”为．

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5、设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ ， $B = \{a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}, a_{4}^{2}, a_{5}^{2}\}$ ，其中 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{5}$ 是五个不同的正整数，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5}$ ，已知 $A \cap B = \{a_{1}, a_{4}\}$ ， $a_{1} + a_{4} = 10$ ， $A \cup B$ 中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：.

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6、已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ， $C = {x | x^{2} - m x + m^{2} - 13 = 0}$ ，若 $B \cap C \neq \emptyset$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，则 $m =$ ．

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7、定义全集 $U$ 的子集 $A$ 的特征函数 $f_{A} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in A \\ 0, x \in ∁_{U} A \end{array}$ ，这里 $∁_{U} A$ 表示 $A$ 在全集 $U$ 中的补集，那么对于集合 $A$ 、 $B \subseteq U$ ，下列所有正确说法是（）

A、 $A \subseteq B \Rightarrow f_{A} (x) \leq f_{B} (x)$ B、 $f_{∁_{U} A} (x) = 1 - f_{A} (x)$ C、 $f_{A \cup B} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$ D、 $f_{A \cap B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$

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8、下列说法正确的是（）．

A、 $a > b$ 的一个必要条件是 $a - 1 > b$ B、若集合 $A = \{x |a x^{2} + x + 1 = 0\}$ 中只有一个元素，则 $a = 4$ C、“ $a c < 0$ ”是“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一正一负根”的充要条件 D、已知集合 $M = \{0, 1\}$ ，则满足条件 $M \cup N = M$ 的集合N的个数为4

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9、记 $max \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 中最大的数．已知 $x, y$ 均为正实数，则 $\max \{\frac{2}{x}, \frac{1}{y}, x^{2} + 4 y^{2}\}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 周长为3，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{c}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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11、在整数集 $Z$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = \{5 n + k |n \in Z\}, k = 0, 1, 2, 3, 4$ ，则下面选项正确的为（）

A、 $2025 \in [3]$ B、 $- 2 \in [2]$ C、 $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]$ D、整数 $a 、 b$ 属于同一“类”的充分不必要条件是“ $a - b \in [0]$ ”

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12、已知条件 $p : | x + 1 | > 2$ ，条件 $q : x > a$ ，且 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq - 1$ D、 $a \leq - 3$

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13、已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $\{x| - 4 < x < 10\}$ B、 $\{x| - 3 < x < 6\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 14\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 10\}$

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14、已知正实数a，b，设甲： $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ ；乙： $\frac{1}{\sqrt{a}} > \frac{1}{\sqrt{b}}$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、若集合 $A = \{1, 9, a^{2}\}$ ， $B = \{9, 3 a\}$ ，则满足 $A \cap B = B$ 的实数a的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、下列关系中：① $0 \in \{0\}$ ， ② $\emptyset \subseteq \{0\}$ ， ③ $\{0, 1\} \subseteq \{(0, 1)\}$ ， ④ $\{(a, b)\} = \{(b, a)\}$ 正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} E = 2 E B_{1}$ ，点 $F$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} F = 2 F D_{1}$ ．

(1)、求异面直线 $A D_{1}$ 与 $C F$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $B D$ 到平面 $C E F$ 的距离．

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $B_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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19、已知 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, y, 1) (0 \leq y \leq 1)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 最大值为.

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20、在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为 $A, B, C, |A C| = 2, |A B| = 2 \sqrt{3}, |B C| = 4$ .现移动边 $A C$ ，使得点 $A, C$ 分别在 $x$ 轴､ $y$ 轴的正半轴上运动，则 $|O B|$ （点 $O$ 为坐标原点）的最大值为.

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