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相关试卷

1、某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x + 3200$ ，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.

(1)、该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本= $\frac{y}{x}$ ）

(2)、为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.

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2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，则关于函数 $f (x)$ 的结论中正确的是（）

A、 $f (- 2.3) = 0.7$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[- 1, 0)$ 上是单调递增函数 D、 $f (x)$ 的值域是 $[0, 1)$

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3、英国数学家哈利奥特最先使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知 $b < a < 0, c > 0$ ，则下列不等式一定成立的有（）

A、 $b^{3} c > a^{3} c$ B、 $a b < a^{2}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{c - b}{c - a}$ D、 $\sqrt{- a} < \sqrt{- b}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1 - x, x \leq 0 \\ a^{x}, x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (1) = f (- 1)$ ，则实数 $a$ 的值等于（　　）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5、下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = - \frac{1}{x}$

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6、设集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 5}, B = {2, 3, 4, 5}$ ， $A \cap B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${2, 3, 4}$

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7、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $F N$ 的长度保持相等，记 $C M = F N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ．

(1)、求 $M N$ 的长（用 $a$ 表示）；

(2)、 $a$ 为何值时， $M N$ 的长最小？

(3)、当平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角 $60^{\circ}$ 时．求 $M N$ 的长．

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8、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1, 1)$ ，高CD所在直线方程为 $3 x + y - 12 = 0$ ，角 $B$ 的平分线BE所在直线方程为 $x - 2 y + 4 = 0$ ．求：

(1)、 $B$ 点的坐标；

(2)、BC边所在直线方程．

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M在线段 $B C_{1}$ （不包含端点）上运动，则下列判断中正确的是（）

A、 $A_{1} M / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、异面直线 $A_{1} M$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、 $A C ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ 恒成立 D、三棱锥 $D_{1} - A M C$ 的体积是定值

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10、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x²＋y²＝1上的动点M和定点A $(- \frac{1}{2}, 0)$ ， B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{11}$

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11、圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ B、 $B D ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ C、 $A_{1} C_{1}$ ∥平面 $B_{1} E F$ D、 $A_{1} D$ ∥平面 $B_{1} E F$

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13、如图，已知两点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，从点 $P (2, 0)$ 射出的光线经直线 $A B$ 反射后射到直线 $O B$ 上，再经直线 $O B$ 反射后射到 $P$ 点，则光线所经过的路程 $|P M| + |M N| + |N P|$ 等于（　　）

A、2 $\sqrt{10}$ B、6 C、3 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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14、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足 $\vec{E G} = \frac{1}{3} \vec{E F}$ ，若 $\vec{S A} = \vec{a}$ ， $\vec{S B} = \vec{b}$ ， $\vec{S C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{S G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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15、若直线l过点 $(- 1, 2)$ 且斜率 $k = - \frac{3}{2}$ ，则l的方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + 3 y - 1 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x - 3 y - 1 = 0$

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 在 $(0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、当 $a = 1$ 时，证明：对 $\forall x > 0$ ，有 $f (x) > l n x + x + 1$ .

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17、已知角 $α (0 < α < π)$ 的顶点为 $A$ ，在 $α$ 的两边上截取 $|A B| = |A C|$ ，连接 $B C$ ，在线段 $B C$ 上取一点 $O$ ，使得 $|B O| = 2 |C O|$ ，记 $B O$ 的中点为 $D$ ，以 $O$ 为中心， $C, D$ 为顶点作离心率为2的双曲线 $M$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，与双曲线 $M$ 左支交于点 $E$ （射线 $A E$ 在 $∠ B A C$ 内部），则 $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .在上述作法中，以 $O$ 为原点，直线 $B C$ 为 $x$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系，若 $B (- 2, 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的上方.

(1)、求双曲线 $M$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $E$ 到直线 $A G$ 的距离为 $d$ .
证明：① $\frac{|B E|}{d}$ 为定值；
② $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .

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18、如图，在矩形 $C D E F$ 中， $C D = 1, D E = 2$ ， $A, B$ 分别是 $D E, C F$ 的中点，点 $P, Q$ 分别是对角线 $A C, B E$ 上的动点（不包括端点），且 $C P = B Q = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，将四边形 $A B C D$ 沿 $A B$ 翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B F E$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求线段 $P Q$ 的长（用 $a$ 表示）；

(3)、当线段 $P Q$ 的长最小时，求平面 $P Q A$ 与平面 $A E C$ 夹角的余弦值．

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19、甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，同学乙每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且两人是否击中目标相互独立.

(1)、射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第 $n$ 次射击由同学甲进行的概率为 $P (n)$ ，求 $P (21)$ 的值.

(2)、新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{2} t S$ ，则 $t$ 的最小值为．

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