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相关试卷

1、已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点 $(1 ， 2)$ 的该圆的三条弦的长 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 构成等差数列，则数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 的公差的最大值是．

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2、直线 $2 x - 3 y - 1 = 0$ 的一个方向向量为 $\overset{⇀}{d} =$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 对 $\forall n \in N_{+}$ ，满足 $a_{n} = \log_{n + 1} (n + 2)$ ，设 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项之积，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1} > 1$ B、 $a_{1} > a_{7}$ C、 $T_{6} = 3$ D、 $T_{7} < T_{6}$

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4、设 $\{a_{n}\}$ 是公差为d的等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和．能说明“若 $d > 0$ ，则数列 $\{S_{n}\}$ 为递增数列”是假命题的一组 $a_{1}$ 和d的值可以为（）

A、 $a_{1} = - 3$ ， $d = 1$ B、 $a_{1} = 3$ ， $d = 1$ C、 $a_{1} = - 5$ ， $d = 2$ D、 $a_{1} = - 1$ ， $d = 2$

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5、曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}} (- 2 \leq x \leq 2)$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{12}, + \infty)$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$

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6、设 $P$ 为直线 $x - y = 0$ 上的动点， $P A$ ， $P B$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线， $A B$ 为切点，则四边形 $A P B C$ 的面积的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、1

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n} + n (n \in N_{+})$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、22 B、42 C、79 D、149

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8、已知直线 $l_{1} : a x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ 或1 D、 $- 2$ 或1

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10、直线 $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$ 的纵截距为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、3

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11、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ， $M (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，在椭圆 $E$ 上，

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $n$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，AB的中点坐标为 $(1, - \frac{1}{2})$ ，求直线 $n$ 的方程；

(3)、直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $4 k^{2} + 3 = 4 m^{2}$ ，求证： $△ O P Q$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值.

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12、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 45^{°}$ ， $A B = 2 A_{1} A = \sqrt{2} B_{1} C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$

(1)、证明：平面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C$ 所成角的大小

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13、已知点 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点， $P$ 为 $C$ 上一点， $A (0, 1)$ ，则 $|P A| + |P F|$ 的最小值是.

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14、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到直线 $4 x - 3 y + 25 = 0$ 的距离的最小值是．

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15、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点 $F$ 为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、若 $E ､ F$ 分别为 $C C_{1} ､ B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若点 $E$ 到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点 $E$ 的轨迹是双曲线的一部分

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(2, 0)$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点 B、 $(0, 1)$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点 C、椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ D、椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$

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17、若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m - 7} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < - 7$ 或 $m > 4$ B、 $- 7 < m < 4$ C、 $m < - 4$ 或 $m > 7$ D、 $- 4 < m < 7$

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18、直线 $l$ ： $x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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19、当一个函数 $f (x)$ 有如下性质：若 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有意义且该区间为 $f (x)$ 的单调区间，并且此时 $f (x)$ 的值域为 $[c, d]$ ，当 $d - c = b - a$ 时，我们就称函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”．请回答下列问题：

(1)、当 $f (x) = 2^{x}$ 时， $f (x)$ 是否是区间 $[0, 1]$ 上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；

(2)、当函数 $f (x) = x^{2}$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $a$ 的最小值和 $b$ 的最大值；

(3)、当 $f (x) = x^{2} - m x + m$ 时，存在区间 $[a, b] \subseteq [0, 1]$ ，使得函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $m$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2^{1 - x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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