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相关试卷

1、下列说法错误的是（）．

A、过三个点有且只有一个平面 B、已知直线 $l, m$ ，平面 $α, β$ ， $l ∥ β$ ， $m ∥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset α$ ，则 $α ∥ β$ C、已知直线 $l, m$ ，平面 $α$ ， $m ∥ l$ ， $l ∥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $a + b = \frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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3、已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4、如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$

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5、已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{i}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 i}{2}$ B、 $\frac{- 1 + i}{2}$ C、 $\frac{2 + i}{2}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{2}$

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6、已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) c o s B - b c o s C = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、若b＝2，求 $a + c$ 的取值范围．

(3)、若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．

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7、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1, B C = 2, ∠ A B C = 30 °$ ，且边 $A B, B C$ 上的中线 $C E, A D$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A M C$ 的值.

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8、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ，设 $\overset{⃑}{A D} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.
（1）求 $x$ ， $y$ 的值；
（2）若 $\overset{⃑}{A B} = (1 ， 3)$ ， $\overset{⃑}{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ .

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x + a - 1, x > 0, \\ - x^{2} - (a - 2) x, x \leq 0 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数a的取值范围是.

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10、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为 $D F$ 的中点，则（）

A、 $\cos ∠ E A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $|\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A E}| = \sqrt{17}$ C、 $\overset{⃑}{A E} = \frac{4}{5} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A E} = \frac{8}{5}$

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11、在 $Δ A B C$ 中，，若O为 $Δ A B C$ 内部的一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义向量 $\vec{O A} = (m, n)$ 为函数 $f (x) = m \sin x + n \cos x$ 的有序相伴向量.

(1)、设 $\vec{O A} = (\sqrt{3}, 1)$ 为函数 $g (x) = sin (x + φ) - cos (\frac{4 π}{3} - x) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的有序相伴向量，求实数 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的有序相伴向量为 $\vec{O B} = (0, 1)$ ，若函数 $h (x) = f (x) + \sqrt{3} |\sin x|$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、将（1）中所得函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $F (x)$ .已知 $M (- 2, 3)$ ， $N (2, 6)$ ，请问在函数 $F (x)$ 图象上是否存在一点 $F$ ，使得 $\vec{F M} ⊥ \vec{F N}$ 成立.若存在，求出 $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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14、如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形 $C D E F$ 的四个顶点均在边界上，扇形 $A O B$ 的半径 $O A = 30 m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $∠ C D O = θ$ ， $D O$ ， $E O$ 分别交 $C F$ 于 $H$ ， $G$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{12}$ 时，求边 $D E$ 的长；

(2)、当矩形 $C D E F$ 的面积 $S$ 取最大值时，求 $\frac{H O}{D O}$ 的值.

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ 和非零向量 $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60 °$ .

(1)、求 $|\vec{b}|$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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16、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (- m, 4), \vec{b} = (m - 1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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18、已知等边 $△ A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 为边 $A C$ 的两个三等分点，点 $D$ 靠近点 $A$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上运动，设 $|\vec{B E} + \vec{D G}|$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M^{2} + 4 N^{2} =$ （）

A、8 B、10 C、19 D、 $\frac{115}{4}$

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，由 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四个点为顶点的正四面体 $B - A_{1} C_{1} D$ 的表面积为 $a^{2}$ ，则该正方体的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} a^{2}$ B、 $\sqrt{3} a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $\sqrt{6} a^{2}$

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20、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D B} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列三点一定共线的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ B、 $A$ ， $B$ ， $D$ C、 $A$ ， $C$ ， $D$ D、 $B$ ， $C$ ， $D$

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