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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}|$ ＝4， $|\vec{b}|$ ＝8， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ＝（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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2、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 0), \overset{⃑}{b} = (m, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3、 $\sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ} - \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，面对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 上各有一个动点 $M$ ， $N$ ，使得直线 $M N //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ .

(1)、当 $M$ ， $N$ 为对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 的中点， $T$ 为 $C D$ 的中点时，证明：平面 $M N T //$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、当正方体棱长为2时，求线段 $M N$ 长度的最小值.

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $F$ 为 $C D$ 的中点， $G$ 为 $B C$ 上一点且满足 $\vec{C G} = 2 \vec{G B}$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ ；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $A B = 3, A D = 2$ ，求向量 $\vec{B F}$ ， $\vec{D G}$ 夹角的余弦值.

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.
（1）求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；
（2）求异面直线 $A E$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值.

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7、如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线 $B C$ ，在点 $B$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O B A = 45 °$ ，在 $C$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O C A = 30 °$ ，在基线 $B C$ 上靠近 $B$ 的四等分点处有一点 $P$ ，在 $P$ 处测量这个孔明灯的仰角为 $∠ O P A = 60 °$ ，则这个孔明灯的高度 $O A =$ .

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不共线，且两两所成角相等，若 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 1$ ， $λ > 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - λ \vec{c})$ 的值为.

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9、如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

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10、折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形 $O C D$ ，其中 $∠ A O B = 120 °$ ， $O D = 4$ ， $O B = 1$ ，动点 $P$ 在弧 $C D$ 上（含端点），连接 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 2$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{P Q} > - 5$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$ D、若 $y = 3 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A B}$ 分别是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ D、 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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13、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的两点， $A B = 3$ ， $A D = 2$ .

(1)、若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $B C$ 的中点，求 $cos ∠ P A Q$ ；

(2)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $T, Q$ 为 $B C$ 的中点，试探究线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大.若存在，求 $B H$ 的长；若不存在，说明理由.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a - 2 c = 2 b cos (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，且 $2 a = \sqrt{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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16、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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17、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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18、已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}$ ，则 ${sin}^{2} \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} =$ .

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19、已知 $A (- 1, 2), B (2, 0), C (x, 3)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ .

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20、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有两个不同的零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两条对称轴 B、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、若 $f (0) = f (π)$ ，则 $ω = \frac{5}{3}$

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