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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的顶点 $(a, 0)$ 到渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的距离为 $\frac{b}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是

A、2 B、3 C、4 D、5

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2、定义：对于 $f (x)$ 定义域内的任意一个自变量的值 $x_{1}$ ，都存在唯一一个 $x_{2}$ 使得 $\sqrt{f (x_{1}) f (x_{2})} = 1$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = e^{\sin x}$ D、 $f (x) = \cos x$

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3、若 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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4、若集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{y| y = \sqrt{x}, x \in R\}$ ，则 $α \in A$ 是 $α \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点和上顶点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $m$ 的值．

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6、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，面 $A D E F$ 为矩形，且与面 $A B C D$ 垂直， $∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $D E = \sqrt{2}$ .
（1）证明： $A D // B C$ ；
（2）求平面 $A C E$ 与平面 $B C E F$ 所成的锐二面角的余弦值.

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，满足 $a_{1} = b_{2} = 2$ ， $S_{5} = 30$ ， $b_{4} + 2$ 是 $b_{3}$ 与 $b_{5}$ 的等差中项.
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $T_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线斜率为4，且在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 a c o s B + b = 2 c$ ．
$(1)$ 求A的大小；
$(2)$ 若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、已知 ${(k x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} =$ ，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 244$ ，则实数k的值为．

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11、已知 $α$ 为第四象限角，且 $\sin (α + \frac{π}{6}) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\cos α$ =（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ B、 $\frac{- 4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ D、 $\frac{\pm 4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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12、经过两条直线 $2 x + y - 8 = 0$ 和 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ 的直线的方程是（）

A、 $2 x + 3 y - 13 = 0$ B、 $2 x + 3 y - 12 = 0$ C、 $2 x - 3 y = 0$ D、 $2 x - 3 y - 5 = 0$

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13、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， n)$ ，若 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m n =$ （）

A、 $\pm 3$ B、 $3$ C、 $\pm 6$ D、 $- 6$

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14、已知函数 $f (x) = \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $- \sin x + \cos x$ B、 $\sin x - \cos x$ C、 $\sin x + \cos x$ D、 $- \sin x - \cos x$

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15、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、…、第 $i_{m}$ 项 $(i_{1} < i_{2} < ... < i_{m})$ ，若 $a_{i_{1}} < a_{i_{2}} < ... < a_{i_{m}}$ ，则称新数列 $a_{i_{1}} ， a_{i_{2}} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{i_{m}}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列．规定：数列 $\{a_{n}\}$ 的任意一项都是 $\{a_{n}\}$ 的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{m_{0}}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a_{n_{0}}$ .若 $p < q$ ，求证： $a_{m_{0}} < a_{n_{0}}$ ；
（Ⅲ）设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 $\{a_{n}\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s - 1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s - 1$ 的递增子列恰有 $2^{s - 1}$ 个 $(s = 1, 2, ...)$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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17、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 为椭圆上一动点，且在 $x$ 轴上方，延长 $A F_{1}$ ， $A F_{2}$ 分别交椭圆于点 $B$ ， $C$ ．

(1)、若 $|A F_{1}| = 3 |A F_{2}|$ ，求直线 $B C$ 的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18、已知函数 $f (x) = a x \ln (1 + x) + x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若0是函数 $g (x) = e^{x} - f (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．

(1)、补全 $2 \times 2$ 列联表（单位：人），并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；
药物
疗效
合计
治愈
未治愈
创新药

传统药

合计

(2)、从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用 $X$ 表示回访中治愈者的人数，求 $X$ 的分布列及均值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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20、已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．设函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} + x) + cos (- x)$ ，则 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ =；记 $\vec{O M} = (2, 0)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} |cos x| - k$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个零点，则实数 $k$ 的取值范围为．

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药物	疗效		合计
药物	治愈	未治愈	合计
创新药
传统药
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635