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相关试卷

1、已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的一个面 $A B C D$ 在一半球底面上，且 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{6} π$ B、 $2 \sqrt{6} π$ C、 $16 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{6} π$

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2、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2), \vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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3、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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4、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E、F、G分别为棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B_{1} E$ ∥平面 $A C G$ ；

(2)、在线段 $C C_{1}$ 是否存在一点 $N$ ，使得平面 $N E F$ ∥平面 $A_{1} B C_{1}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{c} + 2 \vec{d}|$ ．

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6、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ；当 $t \in [- 1, 2]$ 时， $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为．

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7、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

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8、下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线

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9、如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若 $\vec{A B} = λ \vec{A M} + μ \vec{A N}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = \sqrt{6}$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{O B}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{O B}$

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11、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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12、某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 $\frac{2}{7}$ ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值，并探究数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．

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13、在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为 $k + 1$ 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；

(2)、假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？

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14、在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，乙同学答对问题A、B、C的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.

(1)、求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

(2)、运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.

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15、已知 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有二项式系数的和为32.

(1)、求n的值；

(2)、若展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数为80，求a的值.

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16、从 $1, 2, \dots, 12$ 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 $s^{2} \leq 1$ 的概率 $=$ .

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17、已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为．

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18、 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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19、来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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20、圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）

A、10 B、20 C、40 D、60

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