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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m > - 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq m$ ；

(3)、对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，不等式 $f (x) \geq x^{2} - x + 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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2、算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 $A =$ “表示的三位数能被5整除”， $B =$ “表示的三位数能被3整除”.

(1)、求事件A，B的概率.

(2)、求事件 $A \cup B$ 、 $A \cap B$ 的概率.

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3、中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍 $A B C D E F$ ，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形 $A B C D$ 所在的平面内， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，该刍甍的体积最大时， $E F =$ ，体积的最大值为．

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4、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $B C = 2, ∠ B A D = ∠ C A D, A B \cdot A C = A D \cdot A B + A C \cdot A D$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为.

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5、 $⌈x⌉ (x \in R)$ 表示不小于x的最小整数，例如 $⌈2⌉ = 2$ ， $⌈- \frac{3}{2}⌉ = - 1$ ．已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = - 7$ ， $a_{4} + a_{6} = - 3$ ．记 $b_{n} = ⌈a_{n}⌉$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项的和．

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6、下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$ B、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $y = 4 |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|}$ D、 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

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7、已知随机变量 $X$ 满足： $X \sim B (4, p), 0 < p < 1, E (X) = \frac{3}{2} D (X)$ ，则（）

A、 $p = \frac{2}{3}$ B、 $E (X) = \frac{4}{3}$ C、 $E (2 X + 1) = \frac{11}{3}$ D、 $D (2 X + 1) = \frac{32}{9}$

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8、已知角 $α$ 是锐角，角 $β$ 是第四象限角，且 $3 cos α + \sqrt{10} cos β = \frac{17}{5}$ ， $3 sin α - \sqrt{10} sin β = \frac{24}{5}$ ， $tan α = \frac{3}{4}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $cos (α + β) = \frac{13 \sqrt{10}}{50}$ B、 $sin (α + β) = - \frac{9 \sqrt{10}}{50}$ C、 $tan (2 α + β) = \frac{9}{13}$ D、 $tan β = - 3$

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9、设 $n$ ， $k$ 为正整数， $A_{1} = \sqrt{(n + 3) (n - 1) + 4}$ ， $A_{2} = \sqrt{(n + 5) A_{1} + 4}$ ， $A_{3} = \sqrt{(n + 7) A_{2} + 4}$ ， $A_{4} = \sqrt{(n + 9) A_{3} + 4}$ ， …， $A_{k} = \sqrt{(n + 2 k + 1) A_{k - 1} + 4}$ ， …，已知 $A_{100} = 2005$ ，则 $n$ 的值为（）

A、1806 B、2005 C、3612 D、4100

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10、用数字 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（）

A、 $76$ B、 $38$ C、 $36$ D、 $30$

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11、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ，复数 $z$ 满足 $|z + z_{1}| = 2$ ，则（）

A、 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = |2 + i|$ B、复数 $\bar{z_{1}}$ 在复平面内所对应的点的坐标是 $(- 1, 2)$ C、 $\sqrt{5} - 2 \leq |z| \leq \sqrt{5} + 2$ D、复数 $z$ 在复平面内所对应的点为 $Z (x, y)$ ，则 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$

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12、若点 $P$ 在曲线 $y = x^{3} - \sqrt{3} x$ 上移动，经过点 $P$ 的切线的倾斜角为 $α$ ，则角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{2})$ B、 $[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{2π}{3}]$ C、 $[\frac{2π}{3}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{2}) \cup [\frac{2π}{3}, π)$

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13、在空间四边形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点，且 $A E : E B = A F : F D = 1 : 4$ ，又 $H, G$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，则（）

A、 $B D / /$ 平面 $E F G$ ，且四边形 $E F G H$ 是矩形 B、 $E F / /$ 平面 $B C D$ ，且四边形 $E F G H$ 是梯形 C、 $H G / /$ 平面 $A B D$ ，且四边形 $E F G H$ 是菱形 D、 $E H / /$ 平面 $A D C$ ，且四边形 $E F G H$ 是平行四边形

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14、已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 共线， $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $|\vec{b}| = 10$ ，且向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (1, 1)$ 的夹角为锐角，则向量 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, 6)$ B、 $(6, - 8)$ C、 $(8, - 6)$ D、 $(- 6, 8)$

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15、已知椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(2, 0)$ .

(1)、求 $W$ 的方程；

(2)、直线 $x - m y + 1 = 0 (m \neq 0)$ 交 $W$ 于 $A, B$ 两点.
（i）点 $A$ 关于原点的对称点为 $C$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k$ ，证明： $\frac{k}{m}$ 为定值；
（ii）若 $W$ 上存在点 $P$ 使得 $\vec{A P}, \vec{P B}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量相等，且 $△ P A B$ 的重心在 $y$ 轴上，求直线 $A B$ 的方程.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (a + 1) x + ln x, g (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - 2$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $f (x) + g (x) \geq 2 ln x - a x - 1$ ．

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17、2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为 $\frac{1}{2}$ ，良好的概率为 $\frac{1}{3}$ ；在续航测试中结果为优秀的概率为 $\frac{2}{5}$ ，良好的概率为 $\frac{2}{5}$ ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为 $ξ$ .

(1)、求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；

(2)、求离散型随机变量 $ξ$ 的分布列与期望.

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18、已知 $a 、 b 、 c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 的对边，且 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 1, A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $b$ 及 $△ A B C$ 的面积S；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ，求 $∠ A D B$ 的正弦值．

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19、定义： $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数，如 $[1.2] = 1$ ， $\{1.2\} = 2$ .设函数 $f (x) = \{x [x]\}$ 在定义域 $[0, n) (n \in N^{*})$ 上的值域为 $C_{n}$ ，记 $C_{n}$ 中元素的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{2} =$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} =$

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且点 $M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离为 $6$ ，则 $|M F| =$ .

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