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相关试卷

1、如果 $a > b > 0$ ，那么下列不等式一定成立的是（）

A、 $|a| < |b|$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $\ln a > \ln b$

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2、已知全集 $U = {- 2, - 1,0, 1,2, 3}$ ，集合 $A = {x \in Z | | x | < 2}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 ${- 2,2, 3}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 ${- 2,0, 3}$

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3、在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．

(1)、求2个白球都被乙取出的概率；

(2)、求2个白球都被甲取出的概率；

(3)、求将球全部取出才停止取球的概率

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ，且 $A A_{1} = 4$ ， $\vec{C C_{1}} = 4 \vec{C E}$ ，直线 $A E$ 与 $A_{1} C$ 交于点F.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B E$ .

(2)、求二面角 $A_{1} - B E - A$ 的正弦值.

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5、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且F与圆 $M : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 上点的距离的最小值为2．

(1)、求 $p$ ；

(2)、已知点 $P (- 1, - 2)$ ， $P A$ ， $P B$ 是抛物线 $C$ 的两条切线， $A$ ， $B$ 是切点，求 $|A B|$ ．

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6、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a - c = \sqrt{2} b$ ， $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ，求c．

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7、已知某三棱台的高为 $2 \sqrt{5}$ ，上、下底面分别为边长为 $4 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．

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8、已知P为函数 $f (x) = \frac{x^{4} - 3}{3 x}$ 图象上一点，则曲线 $y = f (x)$ 在点P处的切线的斜率的最小值为．

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9、已知 $(x + \frac{a}{x}) {(2 x - x^{2})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为4，则 $a =$ ．

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10、星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线．已知星形线 $C : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 上的点到x轴的距离的最大值为1，则（）

A、 $a = 1$ B、C上的点到原点的距离的最大值为1 C、C上的点到原点的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在C上时， $x_{0} y_{0} \leq \frac{1}{8}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n + k$ ，则 $k = 0$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 3^{2 n + 1} + k$ ，则 $k = - 3$ C、若 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n + 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，则 $S_{2 n} > 2 S_{n}$

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12、已知函数 $f (x) = \sin | x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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13、已知数据 $x_{1}, x_{2}$ ， …， $x_{5}$ （ $x_{i} \in Z$ ， $i = 1, 2, \dots, 5$ ）的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、已知函数 $f (x) = x \sin x - 1$ 与 $g (x) = a (x^{2} + 1)$ 的图象恰有一个交点，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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15、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若 $|F_{1} A| = 10$ ， $| A B | = 12$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知 $\sin (\frac{π}{2} - θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $θ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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17、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、复数 $z = - 2 i (- 1 + 2 i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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19、通过研究，已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P，

(1)、已知平面内点 $A (- \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ ，点 $B (\sqrt{3}, - 2 \sqrt{3})$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2)、已知二次方程 $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 $Q (\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}})$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $l_{1}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 垂直，直线 $l_{2}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\frac{\sqrt{2}}{|M N|} + \frac{1}{{|O H|}^{2}}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

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20、如图，已知点列 $P_{n} (x_{n}, \frac{2}{x_{n}})$ 与 $A_{n} (a_{n}, 0)$ 满足 $x_{n + 1} > x_{n}$ ， $\vec{P_{n} P_{n + 1}} ⊥ \vec{A_{n} P_{n + 1}}$ 且 $|\vec{P_{n} P_{n + 1}}| = |\vec{A_{n} P_{n + 1}}|$ ，其中 $n \in N_{+}$ ， $x_{1} = 1$ ．

(1)、求 $x_{2}$ ；

(2)、求 $x_{n + 1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式；

(3)、证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n + 1}^{2} \leq 4 n^{2} + 1$ ．

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