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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n} + \frac{1}{a_{n + 1}} = 2$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{1 - a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{1} = 1$ 且 $a_{n} b_{n} = n - 1$ ，求数列 $\{b_{n} \cdot 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足： $a_{1}^{2} + a_{5}^{2} = 8$ ， $a_{1} + a_{2} = 5$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 取得最大值时 $n$ 的值.

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3、已知数列{a_n}中，a_n₊₂ $= \{\begin{matrix} m a_{n} ， n 为偶数 \\ a_{n} + 2 ， n 为奇数 \end{matrix}$ ，且m∈R ， a₁＝1，a₂＝2，a₈＝16，则{a_n}的前2n项和S₂_n＝.

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4、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{10}^{2} =$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = n^{2} + n$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ，则 $S_{1} \cdot S_{3} > S_{2}^{2}$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $S_{11} = 11 a_{6}$ D、若 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 5$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ 则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最小项为 $S_{3}$ D、 $S_{m}$ 、 $S_{2 m}$ 、 $S_{3 m} (m \in N^{*})$ 成等差数列

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = a, a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 15}{a_{n} - 2} (n \geq 1, n \in N)$ ，若 $a_{n} > 4$ 对任意 $n \geq 1, n \in N$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(4, 8)$ B、 $(4, 8]$ C、 $(4, 15)$ D、 $(4, + \infty)$

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8、设 $A_{n}, B_{n}$ 分别为等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{1}{2^{n} + 1}$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{127}{63}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{13}{12}$

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9、在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，前三项的和为7，若存在 $m, n \in N^{*}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{11}{4}$

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10、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ ， $a_{4} = 15$ ，则p，q的值分别为（）．

A、 $- 3$ ， 6 B、2，1 C、 $- 3$ ， 6或2，1 D、 $- 4$ ， 7

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11、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 4$ ， $S_{7}$ =21，则 $a_{7}$ 的值为

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费 $x_{i}$ （单位：百万元）满足递推关系 $\frac{x_{n + 1} - x_{n}}{x_{n} - x_{n - 1}} + \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{x_{n + 1} - x_{n}} = 2 (n \geq 2)$ ，且 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ ，年销售量 $y_{i}$ （单位：百万辆）与年广告费相关．令 $v_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ ，经过数据处理得到如下统计量的值：
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有模型 $y = c \ln x + d$ 作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中 $c, d$ 均为常数．

(1)、求 $x_{n}$ ；

(2)、求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

(3)、该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量 $ξ$ 影响，设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (600, σ^{2})$ ，且满足 $P (ξ > 800) = 0.3$ ，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$
②参考数据： $\sqrt{50.6 \times 2.02} \sqrt{40.3 \times 1.612} = 8.06, \sqrt{403} \approx 20.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6, \ln 6 \approx 1.8$ ．

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13、已知双曲线 $C : 4 y^{2} - x^{2} = m$ ．点 $P_{1} (- 1, 1)$ 在 $C$ 上．按如下方式构造点 $P_{n} (n \geq 2)$ ．过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与 $C$ 的下支交于点 $Q_{n - 1}$ ．点 $Q_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_{n}$ ．记点 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n}) .$

(1)、求 $x_{2}, y_{2}$ 的值：

(2)、记 $a_{n} = 2 y_{n} + x_{n}$ ．证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列；

(3)、记 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积为 $S_{n}$ ．证明： $S_{n}$ 是定值．

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14、第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{1}$ ．假定 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 互不相等．且每人能否闯关成功相互独立．

(1)、若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关． $p_{1} = \frac{3}{4}, p_{2} = \frac{2}{3}, p_{3} = \frac{1}{2}$ ．求该小组初赛胜利的概率：

(2)、已知 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量 $X, Y$ ．求 $E (X), E (Y)$ ．并比较它们的大小；

(3)、初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为 $a$ ．第三道题答对的概率为 $b$ ．若该学生获得一等奖的概率为 $\frac{1}{8}$ ，设该学生获得二等奖的概率为 $p$ ．求 $p$ 的最小值．

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15、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - ln 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ ､ $F$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B D E$

(2)、若 $A B = B C = 4$ ， $D B = E B$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $D E C$ 夹角的余弦值.

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．且 $S_{13} = 6$ ．则 $3 a_{9} - 2 a_{10} =$ ．

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18、已知椭圆 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则（）

A、椭圆 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $E$ 截得弦长为 $\sqrt{2}$ C、椭圆 $E$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{π}{2}), (k \in Z)$ D、若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，且 $f (A) = f (B)$ ，则 $A = B$ 或 $C = \frac{π}{3}$

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20、为了解某类植物生长 $1$ 年之后的高度．随机抽取了 $n$ 株此类植物．测得它们生长 $1$ 年之后的高度（单位： $cm$ ）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长 $1$ 年之后高度低于 $60 cm$ 的有 $20$ 株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（）

A、 $n = 100$ B、此次检测植物生长高度在 $[70, 90)$ 之间的有 $50$ 株 C、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的众数为 $80 cm$ D、估计该类植物生长 $1$ 年后．高度的第 $85$ 百分位数为 $90 cm$

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$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44	4.8	10	40.3	1.612	19.5	8.06