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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, - 2), B (\frac{3}{2}, \sqrt{3}), P$ 为椭圆 $C$ 的左顶点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设 $M (m, n) (m > 0, n > 0)$ 为椭圆 $C$ 上的点，线段 $M P$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，线段 $M A$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，且 $|M P| |M A| = 6 |M N| |M T|$ ，求 $|O M|$ .

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2、某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.

(1)、根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计

(2)、正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ .用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = 5 c cos B$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $a = 5, b = 7, \vec{B D} = \frac{1}{5} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{5} \vec{E B}$ ，求 $D E$ 的长.

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4、如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有种不同的涂色方案．

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5、已知复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的一个根，则 $|z| =$ .

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6、设正实数 $x, y$ 满足 $8 (x + y) = x^{3} y + x y^{3}$ ，则（）

A、 $x + y \geq 4$ B、 $x^{2} y^{2} \geq 16$ C、 $x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} \geq 4 \sqrt{2}$ D、 $x y (x + y) \leq 16$

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7、已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰 $△ A B O, △ C B O, △ F E O, △ D E O$ 拼成，其中线段 $A D, C F, B E$ 的中点均为点 $O$ ，且 $A O = \sqrt{3} B O = 2 \sqrt{3}$ .若将该平面图形绕着直线 $a$ 旋转半周围成的几何体记为 $Ω_{1}$ ，将该平面图形绕着直线 $b$ 旋转半周围成的几何体记为 $Ω_{2}$ ，直线 $a ⊥$ 直线 $b$ ，则（）

A、 $Ω_{1}$ 的体积为 $\frac{20 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $Ω_{2}$ 的表面积为 $(12 - 4 \sqrt{3}) π$ C、经过两次旋转后，点 $A$ 所有的运动轨迹总长为 $4 π$ D、经过两次旋转后，点 $A$ 所有的运动轨迹为两个半圆

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$ D、若函数 $y = f (x) - a$ 恰有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(0, 1]$

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9、已知函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示.设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则（）

A、 $f (0) < f (1)$ B、 $e f (- 1) > f (0)$ C、 $g (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减 D、 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

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10、已知 $α + β = \frac{5 π}{6}, sin 2 α + sin 2 β = \frac{2}{3}$ ，则 $cos 2 α + cos 2 β =$ （）

A、 $\pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $H (m, 4) (m > \frac{p}{2})$ 是抛物线 $C$ 上一点，以点 $H$ 为圆心的圆与直线 $x = \frac{p}{2}$ 相切于点 $T$ ．若 $\sin ∠ H F T = \frac{3}{5}$ ，则圆 $H$ 的标准方程为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$

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12、定义： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin θ$ ，其中 $θ$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8, tan θ = 2$ ，则 $|\vec{a} \times \vec{b}| =$ （）

A、8 B、16 C、 $\frac{16 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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13、曲线 $y = ln x$ 在点 $(e, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x - e y = 0$ C、 $x - y + 1 - e = 0$ D、 $e x - y = 0$

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14、已知集合 $A = {x \in N ∣ x < 5}, B = \{y ∣ y = sin x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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15、马拉松爱好者小丽 $7 \sim 12$ 月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7 $\sim 12$ 月份每个月的跑步里程的 $60 %$ 分位数为（）
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
跑步里程
310
254
220
210
248
300

A、210公里 B、251公里 C、254公里 D、248公里

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $\vec{A M} = x \vec{A B} (0 < x < 1)$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (0 < y < 1)$ ，设 $C M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ，且 $\vec{C P} = 2 \vec{P M}$ ．

(1)、求 $2 x y - 3 y$ 的值；

(2)、定义平面非零向量之间的一种运算“ $\oplus$ ”： $\vec{a} \oplus \vec{b} = \frac{|\vec{a}| sin θ}{|\vec{b}|}$ （其中 $θ$ 是两非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角）．
（ⅰ）若 $M$ 为 $A B$ 的中点，求 $\vec{P B} \oplus \vec{P C}$ 的值；
（ⅱ）若 $\vec{A P} \oplus \vec{B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $x + y$ 的值．

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17、（用坐标法不给分）已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有棱长均为 $2, ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设平面 $B D C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 交于直线 $l$ ，求证：直线 $l / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(3)、求二面角 $D - B D_{1} - C_{1}$ 的平面角的正弦值．

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18、某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中 $m$ （ $m \in \{2, 3, 4, 5\}$ ）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）．

(1)、若 $m = 2$ ，求一次抽奖中奖的概率；

(2)、若要求一次抽奖中奖的概率最小．
（ⅰ）求 $m$ ；
（ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ ；

(2)、若 $b = 4, c = 3, ∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ，求 $A D$ 的长．

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20、2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该样本的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ．

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每周的锻炼时间	短跑成绩		合计
每周的锻炼时间	短跑成绩合格	短跑成绩不合格	合计
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计

月份	7月	8月	9月	10月	11月	12月
跑步里程	310	254	220	210	248	300

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828