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相关试卷

1、某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、 $A G ⊥$ 平面 $B C D G$ B、该石凳的体积为 $\frac{64}{3}$ C、 $A$ ， $F$ ， $C$ ， $D$ 四点共面 D、点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、将函数 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{18} x + \frac{π}{3})$ 图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为36 B、 $g (x) = - 2 cos \frac{π}{18} x$ C、 $g (x)$ 为偶函数 D、 $g (x)$ 在 $[- 45, 45]$ 上共有5个极值点

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3、已知点 $D (4, m)$ 在抛物线 $Ω : x^{2} = 8 y$ 上，点 $A$ 为圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (0 < r < 4)$ 上任意一点，且 $|A D|$ 的最小值为3，则，圆 $C$ 的半径 $r$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 的奇函数，且 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} f (k) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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5、已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，其终边与圆 $O$ 交于点 $P (7 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ ．若点 $P$ 沿着圆 $O$ 的圆周按逆时针方向移动 $\frac{5 π}{2}$ 个单位长度到达点 $Q$ ，则 $cos ∠ Q O x =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6、设 $α, β ， γ$ 是两个平面， $a, l$ 是两条直线，则下列命题不正确的是（）

A、 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α / / β$ B、 $α ⊥$ $β$ ，直线 $l ⊥ β$ ， $l ⊄ α$ ，则 $l / / α$ C、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$ D、过平面 $α$ 内任意一点作交线 $l$ 的垂线，则此垂线必垂直于平面 $β$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则“ $C$ 的渐近线互相垂直”是“ $C$ 的离心率等于 $\sqrt{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, 0), \vec{b} = (2, 1)$ ．若 $(\vec{a} - 4 \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、10 B、6 C、3 D、 $- 4$

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9、已知集合 $A = \{x |\lg x > 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(1, + \infty)$

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10、已知数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = n b_{n + 1}$ ，当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数大于2时，将数列 $\{b_{n}\}$ 中各项的所有不同排列填入一个 $n!$ 行 $n$ 列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这 $n$ 个数的一个排列，将第 $i (1 \leq i \leq n!, i \in N)$ 行的数字构成的数列记作 $\{a_{i n}\}$ ，将数列 $\{a_{i n}\}$ 中的第 $j (1 \leq j \leq n, j \in N)$ 项记作 $a_{i j}$ ．若对 $\forall i, j$ ，均有 $a_{i j} \neq b_{j}$ ，则称数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 $M$ ．

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n}$ ；

(2)、当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数为 $4$ 时，求 $M$ 的值；

(3)、若数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，试讨论 $\sum_{j = 1}^{n} |a_{i j} - b_{j}|$ 的最小值．

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11、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，且四点 $A (\sqrt{3}, 2)$ ， $B (2, \sqrt{6})$ ， $C (2, - \sqrt{6})$ ， $D (3, 2)$ 中恰有三点在E上．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且 $|O M| = |O N| = \sqrt{2}$ ．
（ⅰ）证明：Q，O，R三点共线；
（ⅱ）求 $△ P Q R$ 面积的最小值．

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12、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ，且 $△ A O D$ 和 $△ B O C$ 的外接圆半径相等．

(1)、若 $A B = 2$ ，求OA的长；

(2)、若 $\sin 2 ∠ D A O + \sin ∠ O B C = 1$ ，求 $∠ B C O$ ．

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13、已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - 2 x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线过点 $(0, - 3)$ ，求实数a的值；

(2)、当 $\frac{1}{e^{2}} < a < \frac{2}{e}$ 时，证明： $f (x) > - 3$ ．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $P D = A B = 4$ ， M，N为别为棱PB，CD的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P M N$ 与平面 $A M N$ 的夹角的余弦值．

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15、人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 $A I$ ．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用 $A I$ 技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为．

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16、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin α \tan β = 2 \cos^{2} \frac{α}{2}$ ，则 $\tan (α + β) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 β =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - a, x > 0, \\ b e^{- x} - 2, x < 0 \end{array}$ ，为奇函数，则 $a + b =$ ．

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形， $A B ⊥ P D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 $O_{1}$ ，其外接球球心为 $O_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的内切球半径为 $\sqrt{2} - 1$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $O_{1} O_{2}^{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = 2$ ， P为C上位于第一象限内的点，且 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = \frac{18}{5}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（）

A、椭圆C的离心率 $e = \frac{1}{2}$ B、 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{|F_{1} M|}{|P F_{1}|} = \frac{2}{3}$

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20、在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为 $P_{A}$ ， $P_{B}$ ， $(P_{A}, P_{B} \in (0, 1))$ ，若5轮比赛后A，B的总得分分别为 $X_{A}$ ， $X_{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $E (X_{A}) < E (X_{B})$ ，则 $P_{A} < P_{B}$ B、 $P (X_{A} = X_{B} = 3) \neq P (X_{A} : X_{B} = 2 : 3)$ C、若 $0 < P_{A} < P_{B} < \frac{1}{2}$ ，则 $D (X_{A}) < D (X_{B})$ D、若当且仅当 $k = 2$ 时， $P (X_{A} = k) (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot 5)$ 取得最大值，则 $\frac{1}{3} < P_{A} < \frac{1}{2}$

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