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相关试卷

1、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 3 \sqrt{2}, A B = 6$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部运动（包括边界），点 $D$ 到棱 $P A, P B, P C$ 的距离分别记为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 20$ ，则点 $D$ 运动路径的长度为．

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2、将 $1, 2, 3, \dots, 9$ 这9个数字填在 $3 \times 3$ 的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有种．

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3、已知 $cos α sin(α - β) - sin α cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin β =$ ．

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4、如图，半径为1的动圆 $C$ 沿着圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 外侧无滑动地滚动一周，圆 $C$ 上的点 $P (a, b)$ 形成的外旋轮线 $Γ$ ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 重合．以下说法正确的有（）

A、曲线 $Γ$ 上存在到原点的距离超过 $2 \sqrt{3}$ 的点 B、点 $(1, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上 C、曲线 $Γ$ 与直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 有两个交点 D、 $|b| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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6、某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（）

A、两组数据的平均数相等 B、第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C、两组数据的极差相等 D、第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数

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7、定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(m x - 2) f (x - 2) \geq (n x + 3) f (2 - x)$ 的解集为 $[- 1, + \infty)$ ，则 $e^{m - 2 n} + e^{n + 1}$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{3}$ B、 $2 e^{2}$ C、 $2 e$ D、 $2 \sqrt{e}$

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8、已知 $ω > 0$ ，曲线 $y = cos ω x$ 与 $y = cos (ω x - \frac{π}{3})$ 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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9、已知实数 $a ， b$ 满足 $3^{a} = 4^{b}$ ，则下列不等式可能成立的是（）

A、 $b < a < 0$ B、 $2 b < a < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $0 < 2 b < a$

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10、已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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12、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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13、数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号 $[x]$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1] = 1$ ， $[2.3]= 2,[- 1.5] = - 2$ ．

(1)、分别求函数 $y = [sin x]$ 和 $y = [x]$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = min \{x e^{x}, \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}\}$ ，求函数 $y = [f (x)]$ 的值；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 4, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n} + 22} - \sqrt{a_{n} + 1} (n \in N^{*}), S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $[S_{n}]$ 的值．

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14、已知椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (0, 1)$ 在 $E_{1}$ 上．

(1)、求 $E_{1}$ 的方程；

(2)、设椭圆 $E_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = m (m > 1)$ ．若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $E_{1}$ 于另一点 $Q, l$ 交 $E_{2}$ 于 $A, B$ 两点，且 $A$ 在 $x$ 轴上方．
（ⅰ）证明： $|A P| = |B Q|$ ；
（ⅱ） $O$ 为坐标原点． $C$ 为 $E_{2}$ 右顶点．设 $A$ 在第一象限内， $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ，是否存在实数 $m$ 使得 $△ O B P$ 的面积与 $△ C P A$ 的面积相等？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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15、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 均在直线 $l$ 上，且 $A B = B C = C D = D E = 1$ ，质点 $M$ 与质点 $N$ 均从点 $C$ 出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量 $X$ 为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.

$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
积分
$- 200$
$- 100$
0
100
200

(1)、求质点 $M$ 移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；

(2)、求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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16、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $A B = A D$ 且 $A B ⊥ A D$ ，沿 $B D$ 将 $△ B C D$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ ．

(1)、求证： $P A ⊥ B D$ ：

(2)、当三棱锥 $P - A B D$ 体积最大时，求平面 $A P D$ 与平面 $B P D$ 夹角的余弦值．

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c sin B = \sqrt{3} b cos C$ ．

(1)、求角 $C$ ：

(2)、若 $a + b = 5, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、设函数 $f (x) = e^{x} - n x - n$ ，函数 $g (x) = - (n + 1) x + e + 1 - n, n \neq 0, n \in R$ ．若函数 $h (x) = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) < g (x) \\ g (x), f (x) \geq g (x) \end{array}$ 恰有两个零点，则 $n$ 的取值范围为．

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19、已知 $tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{5}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} > 0$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{k}{a_{n}} (k \neq 0)$ ，给出下列结论正确的是（）

A、存在 $k$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为常数列 B、对任意的 $k > 0$ ， $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、对任意的 $k > 0$ ， $\{a_{n}\}$ 既不是等差数列也不是等比数列 D、对于任意的 $k$ ，都有 $a_{n}^{2} \geq a_{1}^{2} + 2 k (n - 1)$

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	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
积分	$- 200$	$- 100$	0	100	200