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相关试卷

1、对于 $x > 0$ ， $e^{2 λ x} - \frac{1}{λ} \ln \sqrt{x} \geq 0$ 恒成立，则正数 $λ$ 的范围是（）

A、 $λ \geq \frac{1}{e}$ B、 $λ \geq \frac{1}{2 e}$ C、 $λ \geq 2 e$ D、 $λ \geq e$

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2、已知 $△ A B C$ 的面积为1，取 $△ A B C$ 各边的中点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，然后再取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边的中点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}, \dots$ 依此方法一直继续下去.记 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n \in N^{*})$ 的面积为 $a_{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为常数列 B、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为递增数列 C、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递减数列 D、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递增数列

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3、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则以下结论正确的是（）

A、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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4、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = 0.4, P (B) = 0.5$ ，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ C、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A B) = 0.2$ D、若 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.3$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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5、为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占 $\frac{3}{7}$ .

(1)、求抽取的200名学生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)、若比赛成绩 $x > \bar{x} + s$ （ $s$ 为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式： $s = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} f_{i}}$ ，（ $f_{i}$ 是第 $i$ 组的频率），参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.5$

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6、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $\frac{a + b}{c - b} = \frac{\sin C + \sin B}{\sin A}$ .

(1)、求C

(2)、若 $(\sqrt{3} + 1) a + 2 b = \sqrt{6} c$ ，求A

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8、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，且函数 $f (α) = \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin α \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - 1$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ 和 $\sin α - \cos α$ 的值．

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9、为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．

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10、如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是 $z_{1}, z_{2}$ ，则 $|z_{1} - z_{2}| =$ ．

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11、如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）

A、CC₁与B₁E是异面直线 B、C₁C与AE共面 C、AE与B₁C₁是异面直线 D、AE与B₁C₁所成的角为60°

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12、下列函数中，周期为π，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = | \cos x |$ B、 $y = \tan 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin 2 x$

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13、某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（　　）

A、600 B、800 C、1000 D、1200

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14、若 $A B, B C, C D$ 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线 $A C$ 的位置关系是 (　　)

A、平行 B、相交 C、 $A C$ 在此平面内 D、平行或相交

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15、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为3的正三角形，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，一小虫从点A途经三个侧面爬到点 $A_{1}$ ，则小虫爬行的最短距离为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{97}$ D、 $\sqrt{153}$

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16、如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若 $\vec{D O} = λ \vec{O B}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、5

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + (2 λ - 1) \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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18、在平面直角坐标系中，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- \sin \frac{π}{6}, \cos \frac{π}{3})$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、已知动点 $P$ 到点 $(0, 1)$ 的距离比它到直线 $y + 2 = 0$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求轨迹 $E$ 的方程．

(2)、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别与轨迹 $E$ 交于点 $A, B$ 和点 $C, D$ （ $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 同向），且 $l_{1} / / l_{2}$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
（ⅰ）求证： $M, H, N$ 三点共线；
（ⅱ）若 $|H M| = 1$ ， $|H N| = 2$ ，求四边形ABCD的面积．

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20、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，四边形ABCD是其轴截面，EF为 $⊙ O_{1}$ 的直径， $E F ⊥ C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = a$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、若四面体ABEF的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $A - B E - F$ 平面角的余弦值．

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828