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相关试卷

1、已知 $\tan α = 3$ ，则 $\sin^{2} α + \sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2、若 $(1 - i) z = 2$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、5

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3、已知集合 $A = \{x |x - 1 > 0\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} < 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \sqrt{3}, - 1)$ B、 $(- 1, \sqrt{3})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3}, 1)$

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4、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 ， E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A C / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $B_{1} E ⊥$ 平面 $A B E$ C、对角线 $B D_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ D、四面体 $A B E D_{1}$ 的体积是 $\frac{1}{3}$

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5、已知集合 $A = \{a - 2, 12, a^{2} - a - 1\}$ ，且 $- 1 \in A$ ，则 $a =$ ．

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6、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 2) x + 2 a < 0$ 的解集中恰有 $3$ 个整数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1] \cup [5, 6)$ B、 $[- 3, - 2) \cup (6, 7]$ C、 $[- 2, - 1) \cup (5, 6]$ D、 $(- 3, - 2) \cup (6, 7)$

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7、若 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 2 x y$ ．则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2} + \sqrt{6}$ B、 $5 + 2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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8、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 12 > 0\}, B = \{x ∣ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0\}$ ，那么阴影部分表示集合为（）

A、 ${x ∣ - 4 \leq x < - 3}$ B、 ${x ∣ - 3 \leq x \leq 2}$ C、 $\{x | x \leq - 3 或 x \geq 2}$ D、 ${x ∣ - 3 < x \leq 2}$ ．

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9、已知函数 $f (x + 2)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{\sqrt{3 x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{3}, 4)$ B、 $(\frac{1}{3}, 2)$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(\frac{1}{3}, 6)$

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10、在 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $α$ 为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如 $∠ A P C = π - ∠ B A C = ∠ A B C + ∠ A C B$ ，若下列问题中的点P为 $△ A B C$ 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)、求证：正 $△ A B C$ 的外心 $O$ 是 $△ A B C$ 的布洛卡点；

(2)、若 $△ A B C$ 满足 $A B = A C = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ 时，求 $\tan α$ ；

(3)、角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $∠ A B P = ∠ P B C = α$ ，且 $a = c$ ，若 $△ A B C$ 的周长为4，试把 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 表示为b的函数 $f (b)$ ，并求 $f (b)$ 的值域.

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11、如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 在边 $A B$ 上运动， $F$ 在边 $B C$ 上运动， $A F$ 与 $D E$ 交于点G.

(1)、若E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，用向量法证明 $A F ⊥ D E$ ；

(2)、若E是 $A B$ 的中点， $B C = 3 B F$ ， $\vec{A G} = λ \vec{A F}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、若 $A E = B F$ ， $\vec{D G} = m \vec{D A} + n \vec{D F}$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ， $(2 b - c) cos A = a cos C .$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b + c = 7 ， a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、已知复数 $z = m + 2 + (m - 2) i (m \in R)$ .

(1)、若复数 $z$ 在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；

(2)、 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数， $z + \bar{z} = 6$ ，且 $z - 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.

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14、如图空间四边形 $A B C D$ ， E、F、G、H分别为 $A B$ 、 $A D$ 、 $C B$ 、 $C D$ 的中点且 $A C = B D$ ，试判断四边形 $E F H G$ 的形状，并给予证明.

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15、已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且向量 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{B C}$ ，则 $\cos B$ 的值为.

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16、若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为.

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17、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ 满足 $|z - (2 + i)| = 3$ ，则 $|z|$ 的最大值是.

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18、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，三角形的面积为 $S$ ，周长为 $l$ ，则下列关于 $△ A B C$ 的说法正确的是（）

A、 $l \in (6, 10)$ B、 $S$ 的最大值为3 C、 $A B \cdot (3 \cos B - 2 \cos A) = 5$ D、若 $B = 30^{\circ}$ ，则满足条件的 $△ A B C$ 恰有一个

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19、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（）

A、直线 $E F$ 和直线 $H G$ 是异面直线 B、直线 $A B$ 和直线 $H G$ 是异面直线 C、直线 $A B$ 和直线 $C D$ 是异面直线 D、直线 $G E$ 和直线 $B D$ 是异面直线

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20、已知复数 $z = a + b i$ ， $a, b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z - \bar{z}$ 是纯虚数 B、 $z^{2}$ 是实数 C、 $z \cdot i$ 是虚数 D、若 $|z| = 1$ ，则 $z + \frac{1}{z}$ 是实数

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