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相关试卷

1、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A、 $2 π R^{2}$ B、 $\frac{9}{4} π R^{2}$ C、 $\frac{8}{3} π R^{2}$ D、 $\frac{3}{2} π R^{2}$

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2、存在狄利克雷函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 0, x 为无理数 \\ 1, x 为有理数 \end{matrix}$ ，若 $x = {(\sqrt{2})}^{- 1 + y^{2}}$ ， $y \in [0, 5]$ ，则 $f (x)$ 的所有值之和为（）

A、3 B、6 C、12 D、13

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3、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ $(a > 0)$ 两个焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为8，M为曲线上一点， $|M F_{1}| = 5,$ 则 $| M F_{2} | =$ （）

A、1 B、1或9 C、9 D、3

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4、已知空间中向量 $\vec{A B}$ =（0，1，0），向量 $\vec{A C}$ 的单位向量为（ $- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ），则点B到直线AC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \cos x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $f (A) = 0$ 且 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D, B C = 1, A D = 3, △ A B C$ 为等边三角形， $E$ 是边 $C D$ 上靠近 $C$ 的三等分点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A C}, \vec{A E}$ ；

(2)、求 $∠ B A E$ 的余弦值.

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7、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，若 $|\overset{⃑}{a}| = 2 |\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 1$

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角θ；

(2)、求 $|2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ；

(3)、当λ为何值时，向量 $λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与向量 $\overset{⃑}{a} - 3 \overset{⃑}{b}$ 互相垂直？

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8、函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 在 $x \in [0, π]$ 上恰有 $2$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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9、如图，在矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ， BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A F}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A E} \cdot \overset{⃑}{B F}$ 的值是．

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10、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A^'B^'C^'D^' ，则原四边形ABCD的面积是．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A ＞ sin B$ B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为一定是等腰三角形 C、 $\frac{a}{sin A} = \frac{b + c}{sin B + sin C}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A ＞ cos B$

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12、已知下列四个命题为真命题的是（）

A、已知非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、若四边形 $A B C D$ 中有 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形 C、已知 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, - 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (- 2, 4)$ ， $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 可以作为平面向量的一组基底 D、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, 1)$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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13、如图，所有棱长都等于 $2 \sqrt{3}$ 的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 上，球 $O$ 的体积为（）

A、 $27 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{28 \sqrt{21} π}{3}$ C、 $28 \sqrt{7} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{7}}{3} π$

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14、把函数 $y = \sin (2 x + \frac{4 π}{3})$ 的图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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15、已知 $α$ 、 $β$ 为锐角，且 $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $- \frac{48}{65}$ D、 $\frac{48}{65}$

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16、把一个铁制的底面半径为 $4$ ，侧面积为 $\frac{16}{3} π$ 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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17、已知曲线 $E : y = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）上一点 $P (t, t^{2})$ （ $0 < t < 1$ ）处的切线 $l$ 分别交直线 $y = 0$ ，直线 $x = 1$ 于点 $A$ ， $B$ ，记点 $O (0, 0)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (1, 1)$ .

(1)、设 $△ P A C$ ， $△ P B C$ 的面积分别为 $f (t)$ ， $g (t)$ ，解不等式 $f (t) \leq g (t)$ ；

(2)、在曲线 $E$ 与线段 $O C$ ，线段 $C D$ 围成的区域 $Ω$ 内，以 $P$ 为一顶点作 $△ P Q R$ ，设所有这些三角形的面积最大值为 $h (t)$ ，求 $h (t)$ 的极值.

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18、已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，上焦点为 $(0, 2 \sqrt{5})$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ .记 $C$ 的上、下顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线与 $C$ 的上支交于M，N两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $A_{1} M$ 和 $A_{2} N$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1}^{2} + \frac{2}{3} k_{2}$ 的最小值；

(3)、直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} N$ 交于点P，证明：点P在定直线上.

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19、人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ， $A B = A D = A P = 2$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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