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相关试卷

1、如图所示，将一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形纸板 $O A B$ 剪掉扇形 $O C D$ ，得到扇环 $A B D C$ ，现将扇环 $A B D C$ 围成一个圆台侧面.若 $O A = 2 O C = 6$ ，则该圆台的体积为.

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2、已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4 \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}, y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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3、足球比赛积分规则为：球队胜一场积 $3$ 分，平一场积 $1$ 分，负一场积 $0$ 分．常州龙城足球队 $2024$ 年 $10$ 月将迎来主场与 $A$ 队和客场与 $B$ 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 $A$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{6}$ ；客场与 $B$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且两场比赛结果相互独立．

(1)、求常州龙城队 $10$ 月主场与 $A$ 队比赛获得积分超过客场与 $B$ 队比赛获得积分的概率；

(2)、用 $X$ 表示常州龙城队 $10$ 月与 $A$ 队和 $B$ 队比赛获得积分之和，求 $X$ 的分布列与期望．

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{\sin C}{\sin B}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $\sin B + \cos B = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{n + 2}{n} a_{n} + \cos n π, n 为奇数 \\ a_{n} + \cos n π, n 为偶数 \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前2024项和为.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1}$ ，求 $S_{n}$ ．

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7、函数 $f (x) = \ln (9^{x} + 3^{x} - a)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 为定义域为 $R$ 的奇函数，且 $x > 0$ 时， $g (x) = e^{f (x)} - 9^{x}$ ，
①求 $g (x)$ 的解析式
②若关于x的方程 $\frac{g (x^{2} - 2 t x + 3)}{g (x)} = |g (x)|$ 恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

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8、如图1，设半圆的半径为2，点 $B$ 、 $C$ 三等分半圆，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $O B$ 、 $O C$ 的中点，将此半圆以 $O A$ 为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：

(1)、求在圆锥中的线段 $M N$ 的长；

(2)、求四面体 $A C M N$ 的体积；

(3)、求三棱锥 $M - A B C$ 与三棱锥 $N - A B C$ 公共部分的体积．

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9、已知等式 $x y - 2 y - 2 = 0$

(1)、若x、y均为正整数，求x、y的值；

(2)、设 $p = \frac{4}{(x_{1} - 2) + (x_{2} - 2)}$ ， $q = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 分别是等式 $x y - 2 y - 2 = 0$ 中的x取 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{2} > x_{1} > 2$ ）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由.

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10、已知在平面直角坐标系 $x O y$ ，向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ .

(1)、求与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量 $\vec{e}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\vec{b} = (3, 2)$ ，且 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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11、“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.

(1)、求x；

(2)、求抽取的x人的年龄的第80百分位数（保留小数）.

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12、已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，该正四棱台的体积为 $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$ 时，侧棱与底面所成的角为.

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13、已知一组数据1，2，4，5，m的平均数为4，则这组数据的方差为.

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14、已知 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ），若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上恰有3个实根，则 $ω$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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15、如图，一块三角形铁片ABC，已知 $A B = 4$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D， $A D = 1$ ， $∠ B A D = \frac{π}{6}$ .如果过点D作一条直线分别交AB，AC于点E，F，并沿直线EF裁掉 $△ A E F$ ，则剩下的四边形EFCB面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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16、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若 $A B = 25 m$ ， $B C = A D = 10 m$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、117m B、120m C、127m D、135m

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17、已知 $0 < x_{1} < x_{2} < 2 π, sin x_{1} = sin x_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (x_{1} - x_{2}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

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18、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = - 2$ ， G是菱形ABCD内一点，若 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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19、在以下调查中，适合用普查的是（）

A、调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B、调查一批袋装牛奶的质量 C、调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 D、调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间

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20、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，若 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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