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相关试卷

1、某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

(1)、若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列并计算甲进入决赛的概率.

(2)、决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且每次答题相互独立.
（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值；
（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时 $p$ 的取值范围.

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2、已知二项式 ${(1 - 3 x)}^{n}$ ，若选条件_____ $($ 填写序号 $)$ ，

(1)、求展开式中含 $x^{3}$ 的项；

(2)、设 ${(1 - 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{n} x^{n}$ ，求展开式中奇数项的系数和．
请在：①只有第 $4$ 项的二项式系数最大；②第 $2$ 项与第 $6$ 项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为 $64$ ，
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．

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3、数学竞赛中，某校有 $A, B, C, D, E, F$ 共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设 $A, B$ 两人必须相邻且站在正中间， $C, D$ 两人不能相邻，则不同的站法共有种.

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4、若 $C_{n}^{13} = C_{n}^{7} (n \in N^{*})$ ，则 $n =$ ．

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5、下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (η < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) = 0.8$ B、若随机变量 $Y$ 的方差 $D (Y) = 2$ ，则 $D (3 Y + 2) = 8$ C、从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为 $X$ ，则 $E (X) = \frac{3}{4}$ D、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{3})$ ，且 $P (X = k)$ 最大，则 $k = 2$

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6、近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件 $A =$ “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件 $B =$ “甲和乙选择不同的景点”则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{12}$

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7、 $(x^{2} - x + 1) {(x + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为（）

A、 $- 55$ B、 $1$ C、 $5$ D、 $11$

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8、将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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9、下列对函数求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ B、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ C、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = \frac{x \sin x - \cos x}{x^{2}}$ D、 ${(2 e^{x})}^{'} = 2 e^{x}$

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10、在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．

(1)、请运用函数模型 $y = A \sin (ω x + φ) + h (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}, h \in R)$ ，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；

(2)、根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $cos B = \frac{1}{3}$ ，点D在线段BC上.

(1)、若∠ADC= $\frac{3}{4} π$ ，求AD的长；

(2)、若BD=2DC，△ADC的面积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求AC的长.

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B, ∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $a + 3 c$ 的最小值＝．

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13、对于函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) + 1 (ω > 0)$ ．下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}]$ 上有且只有一个零点 B、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2π}{3}]$ 单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ C、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 时取得最小值，在 $x = x_{2}$ 时取得最大值，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{5π}{6} - x) + f (x) = 2$ D、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小值为2

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14、设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）

A、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直 D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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15、已知复数z满足 $\frac{z + 1}{z - 1} = 1 - 2 i$ ，则（）

A、 $z$ 为纯虚数 B、 $\bar{z}$ 对应的点在第四象限 C、 $z \bar{z} = 2$ D、 $z$ 和 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的两个根

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $B C$ ， $A C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，则 $cos ∠ M P N =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{14}$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $c - a cos B = (2 a - b) cos A$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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18、已知非零空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}, \vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A，B，D B、A，B，C C、B，C，D D、A，C，D

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - 6 k x + 1, g (x) = k x^{3} + 2, k \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $h (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ ，当 $k = 1$ 时，求 $h (x)$ 的极值点个数；

(3)、令 $φ (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $φ (x)$ 有且仅有两个零点时，求 $k$ 的取值范围.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = 2 \sqrt{3}, C D = \sqrt{6}, E$ 为边 $B C$ 的中点， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ D E$ ；

(2)、已知二面角 $P - B C - D$ 的平面角等于 $\frac{π}{3}$ ，则在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{3}{4}$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由.

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