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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x \sin (x + α)$ ， $α \in (0, 2 π)$ ，记 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的 $3$ 个极值点为 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 单调递减

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2、设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = \frac{11^{10}}{10^{11}}$ ， $c = \ln \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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3、数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 为方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的3个实数根，设 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，则 $- a (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 为 $x^{2}$ 的系数， $a (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ 为 $x$ 的系数， $- a x_{1} x_{2} x_{3}$ 为常数项，于是有 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .实际上任意实系数 $n$ 次方程都有类似结论.设方程 ${(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{3} - 7 {(x - 1)}^{2} + 5 = 0$ 的四个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1$ B、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 5$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 5$ D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 3$

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4、在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣 $a$ 分.若随机选择时得分的均值为0分，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为（）

A、24 B、18 C、12 D、9

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6、复数 ${(1 + i)}^{3}$ （i为虚数单位）的实部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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7、已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、现有语文读物5本，历史读物4本，地理读物3本，每本读物各不相同，从中任取1本，不同的取法共有（）

A、3种 B、12种 C、30种 D、60种

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9、若数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n + 1} - a_{n} \leq k$ （k为常数，且 $k \in N_{+}$ ），则称 $\{a_{n}\}$ 为有界变差数列，其中k为数列 $\{a_{n}\}$ 的相邻两项差值的上界．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是有界变差数列， $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，证明： $a_{n} \leq n$ ．

(2)、当 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N_{+}, n \geq 2$ ）中各项都取最大值时， $S_{n} + n a_{n} \leq 3 n^{3} + 11 n$ 对任意的 $n \geq 2$ 恒成立，求k的最大值；

(3)、当 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N_{+}, n \geq 2$ ）中各项都取最大值时， $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 ${(- 1)}^{n} λ (2^{n - 1} + 1) + 2^{n} < T_{n} - 4 k + 2 - (n - 2) k \cdot 2^{n + 1}$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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10、已知 $M (0, \sqrt{2})$ 和 $N (\sqrt{3}, 1)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $H$ 在椭圆 $C$ 上， $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两焦点，且 $∠ F_{1} H F_{2} = 60 °$ ，求 $△ F_{1} H F_{2}$ 的面积；

(3)、过点 $P (\sqrt{3}, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，证明： $\frac{1}{{|P A|}^{2}} + \frac{1}{{|P B|}^{2}}$ 为定值．

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11、已知函数 $f (x) = (a - 2) ln x + \frac{2 a}{x} + x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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12、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A F ∥ D E$ ， $A D = D E = 2 A F$ ， $B E = \sqrt{2} A D$ ， $A F ⊥ A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、求平面 $B C E$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正弦值．

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13、蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且顾客取出小球的结果相互独立．

(1)、求顾客中奖的概率；

(2)、若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．

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14、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x$ ，且 $f (a) + a = 0, b f (b) = 2 b + 4$ ，则 $f (a) + f (b) =$ ．

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15、若圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 上恰有两个点到直线 $x + y + m = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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16、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的弦值是．

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17、数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $E : y^{2} + 4 |x| = 4$ 就是其中之一､则下列结论正确的是（）

A、曲线 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $E$ 上任意一点到原点 $O$ 的距离都不超过2 C、曲线 $E$ 上任意一点到原点 $O$ 的距离等于到直线 $x = 2$ 的距离 D、若 $M (x, y)$ 是曲线 $E$ 上任意一点，则 $y - 2 x$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = sin 2 x |sin x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{4 \sqrt{3}}{9}, \frac{4 \sqrt{3}}{9}]$

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19、某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分 $($ 单位：分 $)$ 统计情况如下表：
得分
$[5, 15)$
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
频数
5
15
20
10
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B、这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 $85 %$ C、这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D、这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 $)$

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C = 3 \sqrt{2}$ ，其他棱长都是 $2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ B、 $20 \sqrt{5} π$ C、 $\frac{20 π}{3}$ D、 $20 π$

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得分	$[5, 15)$	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$
频数	5	15	20	10