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相关试卷

1、函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \cos x$ （ $- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0$ ）的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足 $3 \vec{B D} = \vec{B C}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} = 0$ ．

(1)、若b＝c，求A的值；

(2)、求B的最大值．

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3、在 $Δ A B C$ 中，若 $\frac{\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}}{3} = \frac{\overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{C A}}{2} = \frac{\overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{A B}}{1}$ ，则 $\tan A =$ .

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{3}$ ， $c^{2} = 2 a \sin C$ ，则 $a$ 的最大值为．

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5、如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即 $M D = 400$ ），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高 $B C =$ m.

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6、已知水平放置的 $△ A B C$ 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则原 $△ A B C$ 的面积为.

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7、复数 $z$ 满足 $(z - 3) (2 - i) = 5$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ ．

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8、（多选）关于平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，下列说法中错误的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ 且 $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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9、已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的一个面 $A B C D$ 在一半球底面上，且 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{6} π$ B、 $2 \sqrt{6} π$ C、 $16 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{6} π$

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10、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2), \vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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11、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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12、设 $a$ ， $b \in N^{*}$ ，定义： $(a, b)$ 为 $a$ ， $b$ 的最大公约数， $[a, b]$ 为 $a$ ， $b$ 的最小公倍数，且具有以下性质：① $(a, b) \cdot [a, b] = a b$ ；②当 $b > a$ 时， $(a, b) \leq b - a$ .

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 2^{n + 1}$ ， $b_{n} = 8 n + 4$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，令 $c_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $1 < a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < t$ （ $t$ 为给定常数）.若对 $\forall i \in N^{*}$ ，且 $1 \leq i \leq n - 1$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）时，都有 $[a_{i}, a_{i + 1}] \leq t$ .
（ⅰ）当 $a_{n} \geq 2 a_{n - 1}$ 时，证明： $t > 2 n$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{[a_{1}, a_{2}]} + \frac{1}{[a_{2}, a_{3}]} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{[a_{n - 1}, a_{n}]} < \frac{1}{2}$ .

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13、已知点 $A (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点， $E$ 的焦距为2.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 的右焦点作斜率不为0的直线 $l$ ，交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是 $E$ 的左、右顶点，记直线 $A_{1} P$ ， $A_{2} Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
（ⅰ）求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
（ⅱ）设 $G$ 为直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} Q$ 的交点，记 $△ G P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ G A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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14、已知函数 $f (x) = x - a \ln x - a$ （ $a \neq 0$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + e \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 2 A B = 4$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值.

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16、甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛结果相互独立.

(1)、求赛完4局且乙获胜的概率；

(2)、若规定每局获胜者得2分，负者得 $- 1$ 分，记比赛结束时甲最终得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线交 $C$ 于点 $A$ ，且 $A$ 在第一象限，若 $|O A| = |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的离心率为.

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18、已知 $(1 - x + x^{2}) {(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{12} x^{12}$ ，则 $a_{3} =$ .（用数字作答）

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19、已知函数 $f (x) = tan (\frac{π}{2} x - \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为.

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20、胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线 $C$ 的一部分.已知曲线 $C$ 上的点到 $(0, 4)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为6，若曲线 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限，则（）

A、 $x_{0}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ B、 $y_{0} < 4 + \frac{6}{x_{0}}$ C、曲线 $C$ 的内接矩形的面积最大值为24 D、一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线 $C$ （ $0 < y < 12$ ），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4

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