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相关试卷

1、若存在实数 $α \in R$ 使得 $\sqrt{5 + 4 \cos α} - \sqrt{\cos^{2} α + {(\sin α - \frac{1}{2})}^{2}} \geq m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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2、若函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + a) sin (a x - \frac{π}{3}) (a \in N^{*})$ 在 $[0, 4]$ 上恰有2个零点，则符合条件的a为.

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3、已知直线 $l : y - k x - 2 = 0$ 与圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 相交，则实数k的取值范围为．

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4、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} - 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极大值 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) > f (a)$ C、当 $a > 2$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 2$ D、若 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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5、已知方程 $x^{n} = 1$ 在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程 $x^{18} = 1$ 的根的是（）

A、1 B、i C、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\cos 80 ° + i \sin 80 °$

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6、下列说法中，正确的是（）

A、数据 $4, 1, 6, 2, 9, 5, 8$ 的第 $60$ 百分位数为 $9$ B、已知随机变量 $ξ ~ N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$ C、样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与 $(2, n)$ 的残差相等，则 $3 m + n = 9$ D、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 和 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ 的方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ，若 $x_{i} + y_{i} = 10$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 左支交于 $P$ ， $Q$ 两点， $Q, R$ 两点关于 $y$ 轴对称，且 $|F P| : |F R| : |F Q| = 10 : 5 : 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{3}$

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8、正四棱台侧棱长为 $5 \sqrt{2}$ ，上下底面边长分别为 $3 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ ，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $100 π$ C、 $\frac{500 π}{3}$ D、 $500 π$

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9、某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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10、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 11 (a_{5} + 2)$ ，则 $a_{11} - a_{5} =$ （）

A、4 B、8 C、10 D、12

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11、设 $a, b$ 为正实数，则“ $a > b$ ”是“ $2025^{a} > \log_{2025} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{2})$ 是（）

A、最小正周期为 $2 π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $2 π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $π$ 的奇函数 D、最小正周期为 $π$ 的偶函数

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13、已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {x \in R |{log}_{2} (x - 1) \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1, 2}$ D、 $\emptyset$

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14、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 b c sin 2 A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径是1，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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15、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x + a$ ．
（1）写出函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值与最小值的和为 $\frac{3}{2}$ ，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2), \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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17、已知纯虚数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z| =$ ．

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18、中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = \sqrt{7} : 1 : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ B、若 $∠ A$ 的平分线与 $B C$ 交于 $D$ ，则 $A D$ 的长为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 5$

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19、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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20、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P. 已知平面内点 $A (1, 2)$ ，点 $B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点P，则点P的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(4, 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(0, - 1)$

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