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相关试卷

1、已知复数 $z$ 在复平面对应的点为 $A$ ，且 $\frac{z}{z + 1} = 2 + i^{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\bar{z} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $|z| = \frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $z$ 的虚部为 $- \frac{1}{2} i$ D、 $A (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

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2、已知 $a = {0.6}^{0.5}$ ， $b = {0.6}^{0.3}$ ， $c = \log_{0.6} 0.3$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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3、下列函数中，既是偶函数，又在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = {(\frac{1}{3})}^{|x|}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{2} + 1$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - 2 \vec{a})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $2$

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5、“ $x < - 3$ ”是“ $x^{2} - x - 12 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、 $充要条件$ D、既不充分也不必要条件

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6、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$

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7、设全集 $U = R$ ， $A = \{x |x \geq 1\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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8、设O为坐标原点，定义非零向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 的“相伴函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x (x \in R)$ ，向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 称为函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ 的“相伴向量”.

(1)、设函数 $h (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - x) - \cos (\frac{π}{6} + x)$ ，求 $h (x)$ 的“相伴向量”；

(2)、记 $\overset{⃑}{O M} = (0, 2)$ 的“相伴函数”为 $f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} |\sin x| - 1$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)、已知点 $M (a, b)$ 满足 $3 a^{2} - 4 a b + b^{2} < 0$ ，向量 $\overset{⃑}{O M}$ 的“相伴函数” $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值.当点M运动时，求 $\tan 2 x_{0}$ 的取值范围.

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9、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ， $A C = A D = 7$ ， $A B = 3$ ．

(1)、若 $D B = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求 $B D$ ．

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10、已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）米．

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11、在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{3} : 4 : \sqrt{31}$ ，则 $A + B - C =$ .

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12、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $|z_{2}| = |z_{3}|$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ C、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ D、若 $\bar{z_{2}} = z_{3}$ ，则 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} z_{3}|$

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13、四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（）

A、 $\overset{⃑}{A B} = 2 \overset{⃑}{M D}$ B、 $\overset{⃑}{D M} - \overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{A M}$ C、 $\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{M C} = \overset{⃑}{M A}$ D、 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{B C} = 1$

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14、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (x, 3 x), \overset{⃑}{b} = (- 2 x, 1)$ ，若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为钝角，则x的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{6}) \cup (- \frac{1}{6}, 0) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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15、 $sin 102 ° cos 48 ° + cos 78 ° cos 138 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、已知N为偶数，给定数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{N}$ ，记为 $A_{0}$ ，对 $A_{0}$ 作如下变换：
①将 $A_{0}$ 中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前 $\frac{N}{2}$ 项；
②将 $A_{0}$ 中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第 $\frac{N}{2} + 1$ 项到第N项.
称上述操作为T变换，构成的新数列为 $A_{1}$ ，记 $A_{1} = T (A_{0})$ ，定义 $A_{k}$ 为操作k次后得到的新数列，即 $A_{k} = T (A_{k - 1}) = T^{k} (A_{0})$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，其中 $A_{k} (i)$ 表示数列 $A_{k}$ 中的第i项.

(1)、若 $a_{n} = n, (n = 1, 2, \dots, 8)$ ，求 $A_{1} (2)$ ， $A_{2} (2)$ ， $A_{3} (2)$ ；

(2)、令 $N = 2^{m}$ ， $m \in N^{*}$ ，其中数列 $A_{0}$ 的各项互不相同，记 $C_{i} = \{A_{k} (i) |k \in N^{*}\}$ ，规定 $|C_{i}|$ 为集合C的元素个数：
（i）求 $|C_{2}|$ ；
（ii）求不超过10的最大正整数m，满足 $|C_{2}| = |C_{3}| = \dots = |C_{2^{m} - 1}|$ .

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $F$ 为 $C$ 的焦点， $l$ 为 $C$ 的准线 $A, B$ 是 $C$ 上两点，且 $O A ⊥ O B$ （O为坐标原点），过 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ ，垂足为D，点D的坐标为 $(6, 2 \sqrt{3})$ .

(1)、求C的方程；

(2)、在C上是否存在点 $P$ ，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线 $P S, P M, P T$ 的斜率均成等差数列？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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18、在 $2 \times 2$ 列联表（表一）的卡方独立性检验中， $χ^{2} = \sum_{1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 2} \frac{{(A_{i, j} - B_{i, j})}^{2}}{B_{i, j}}$ ，其中 $A_{i, j}$ 为第i行第j列的实际频数，如 $A_{1, 2} = b$ ，而 $B_{i, j} =$ 第i行的行频率 $\times$ 第j列的列频率 $\times$ 总频数，为第i行第j列的理论频数，如 $B_{1, 2} = \frac{a + b}{a + b + c + d} \times \frac{b + d}{a + b + c + d} \times (a + b + c + d)$ .
a
b
c
d
10
20
30
40
（表一）
（表二）

(1)、求表二 $2 \times 2$ 列联表的 $χ^{2}$ 值；

(2)、求证：题干中 $χ^{2} = \sum_{1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 2} \frac{{(A_{i, j} - B_{i, j})}^{2}}{B_{i, j}}$ 与课本公式 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ 等价，其中 $n = a + b + c + d$ .

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19、已知 $f (x) = - e^{x} + a x$ ， $g (x) = 2 x + b \sin x$ ， $a \in R$ ， $b \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = - 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 的任意一条切线，都存在曲线 $y = g (x)$ 的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.

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20、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 底面 $A B C$ ，侧棱 $A A_{1}$ 与底面 $A B C$ 成 $60 °$ 的角， $A A_{1} = 2$ ．底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段 $B C_{1}$ 上一点，且 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C_{1}}$ ．

(1)、求证： $G E / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求平面 $B_{1} G E$ 与平面 $A B C$ 夹角的正切值．

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