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相关试卷

1、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2, 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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2、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ .则下列结论正确的是（）

A、 $b \cos A + a \cos B = 2$ B、 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0, 4 \sqrt{3})$ D、若 $(\frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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3、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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4、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a > b$ ，则 $\sin A$ 与 $\sin B$ 大小无法确定 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B > \cos A + \cos B$

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5、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ， $Q$ 是 $B C$ 中点， $A Q$ 与 $C P$ 交点为 $M$ ，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\frac{\sqrt{87}}{4}$

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7、如图，向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{e_{1}} + μ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ + μ =$

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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8、复数 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ B、 $- cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ C、 $cos 120^{\circ} + isin 60^{\circ}$ D、 $cos 120^{\circ} + isin 120^{\circ}$

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9、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{5} - y^{2} = 1$ 上任意一点．

(1)、求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)、已知点 $A (4, 0)$ ，求 $|P A|$ 的最小值．

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10、如图，矩形 $A B C D$ 是圆柱 $O^{'} O$ 的轴截面， $A B = 4, A D = 2 \sqrt{2}, E, F$ 分别是上、下底面圆周上的点，且 $C F ∥ A E$ ．

(1)、求证： $D F ∥ B E$ ；

(2)、若四边形 $B E D F$ 为正方形，求平面 $A B F$ 与平面 $A D E$ 夹角的正弦值

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11、在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, A B = 1, C D = 3, cos ∠ D A C = \frac{\sqrt{2}}{4}, cos ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $A D = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $cos ∠ B A D = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{A D} = - \frac{3}{4}$ D、 $A C ⊥ B D$

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12、北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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13、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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14、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 \sqrt{3} cos \frac{A}{2} cos \frac{B + C}{2} = 1 + 2 {cos}^{2} \frac{A}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C (1 + cos B) = sin B (2 - cos C)$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的值.

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

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17、已知函数 $f (x) = a^{x} - {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与函数 $g (x) = ln ({log}_{a} x) - x ln a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 有两个不同交点，则 $a$ 的取值范围是.（其中 $e$ 为自然对数的底数）

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18、成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.

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19、请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 $f (x) =$ .① $f (2 - x) = f (x)$ ；② $f (x)$ 至少有两个零点；③ $f (x)$ 有最小值.

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20、数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C, D$ 两点， $P$ 是 $E$ 上一个动点，则下列说法正确的有（）

A、 $|A B| < |C D|$ B、曲线 $E$ 恰好经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 D、满足 $|P C| + |P D| = 2 \sqrt{3}$ 的点 $P$ 有且只有2个

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