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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， E为 $A C$ 中点， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $F$ .

(1)、设 $\vec{A F} = λ \vec{A D}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，设 $M$ 是 $A D$ 上一点，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M A} = \vec{M C} \cdot \vec{M B}$ ，求 $\vec{F M} \cdot \vec{C A}$ 的值.

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2、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $sin B - cos C = \frac{{sin}^{2} C - {sin}^{2} A}{2 sin A sin B}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $4 b = \sqrt{3} c$ ， $A$ 为钝角，且 $B C$ 边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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3、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值及函数的单调递增区间；

(2)、若 $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $cos (- α - \frac{3 π}{2})$ 的值.

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4、在一个底面边长为4，容积为 $\frac{64 \sqrt{2}}{3}$ 的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为.

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5、在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $\frac{\vec{D A}}{|\vec{D A}|} \cdot \frac{\vec{D C}}{|\vec{D C}|} = - \frac{1}{2}$ ，梯形 $A B C D$ 外接圆圆心为 $O$ ，圆上有一个动点 $P$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围.

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6、一艘轮船按照北偏东 $50^{\circ}$ 方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东 $10^{\circ}$ 方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为 $\sqrt{19}$ 海里，则灯塔与轮船原来的距离为海里.

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7、正方形 $A B C D$ 的边长为2，动点 $P$ 在正方形内部及边上运动， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则下列结论正确的有（）

A、点 $P$ 在线段 $B C$ 上时， $\vec{A D} \cdot \vec{A P}$ 为定值 B、点 $P$ 在线段 $C D$ 上时， $\vec{A D} \cdot \vec{A P}$ 为定值 C、 $λ + μ$ 的最大值为2 D、使 $λ + 2 μ = \frac{1}{2}$ 的 $P$ 点轨迹长度为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，有如下命题，其中正确的是（）

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰或直角三角形. B、若 $cos A = sin B$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $B B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B C_{1}$ //平面 $A E D_{1}$ B、 $E F$ //平面 $A E D_{1}$ C、点 $C_{1}$ 在平面 $A E D_{1}$ 内 D、点 $F$ 在平面 $A E D_{1}$ 内

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10、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - {(\frac{1}{3})}^{x} + 1$ ，则使不等式 $f (e^{x} - 3 e^{- x}) > - \frac{8}{9}$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, ln 3)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、（-1，3）

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a sin 2 B + b sin A = 0$ ，若 $a + c = \sqrt{3}$ ，则边 $b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0 (a < 0)$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \frac{2 a}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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13、如图， $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 是体积为2的棱柱，则四棱锥 $C - A A^{'} B^{'} B$ 的体积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、已知 $cos (\frac{π}{2} + α) + 3 cos (α - π) = 0$ ，则 $\frac{{sin}^{3} α - sin α}{sin (\frac{3 π}{2} + α)} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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15、已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - \frac{3}{4}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点（m，n），则 ${(\frac{16}{81})}^{m n} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{27}{8}$ D、 $\frac{8}{27}$

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16、已知函数 $f (x) = m^{2} x^{m^{2} - 2 m - 2}$ 是幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 上递增，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、1或 $- 1$

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17、已知 $z = - i + 2$ ，则 $z (\bar{z} - i) =$ （）

A、 $6 - 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $- 6 - 2 i$ D、 $- 4 - 2 i$

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18、A={1，2，3，4，5，6，7，8}， $M = {(x_{i}, y_{i}) | x_{i} \in A, y_{i} \in A}$ ，从 $M$ 中选出 $n$ 构成一列： $(x_{1}, y_{1}), ⋯, (x_{n}, y_{n})$ .相邻两项 $(x_{i}, y_{i}), (x_{i + 1}, y_{i + 1})$ 满足： $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 3 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 4 \end{cases}$ 或 $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 4 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 3 \end{cases}$ ，称为K列.

(1)、若K列的第一项为（3，3），求第二项；

(2)、若 $τ$ 为K列，且满足i为奇数时， $x_{i} \in {1, 2, 7, 8}$ ；i为偶数时， $x_{i} \in {3, 4, 5, 6}$ ；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在 $τ$ 中，并说明理由；

(3)、证明：M中所有元素都不构成K列.

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19、函数f（x）定义域为 $(- 1, + \infty)$ ，且f（0）=0， $f^{'} (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ ， f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l₁.

(1)、求 $f^{'} (x)$ 的最大值；

(2)、证明：当 $- 1 < a < 0$ ，除切点 $A$ 外， $y = f (x)$ 均在 $l_{1}$ 上方；

(3)、当 $a > 0$ 时，直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与 $l_{1}$ 垂直， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 x 轴的交点横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $\frac{2 a - x_{2} - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 的取值范围.

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20、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、设O为原点， $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ 为椭圆上一点，直线 $x_{0} x + 2 y_{0} y - 4 = 0$ 与 $y = 2$ 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S₁和S₂ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 和 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的大小.

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