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相关试卷

1、已知点 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ，当点 $P$ 的纵坐标是 $\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 到坐标原点的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

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2、已知函数 $f (x) = x^{α} - 1$ （ $α > 0$ ），实数 $m$ ， $n$ 满足 $f (m) + f (n) = 4$ ， $f (m) f (n) = 3$ ，则 $f (m n) =$ （）

A、 $1$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $12$

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3、某次测试成绩 $X ~ N (105, 225)$ ，记成绩 $120$ 分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

A、 $31.73 %$ B、 $15.87 %$ C、 $4.55 %$ D、 $2.28 %$

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4、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {y |y = 3 x + 1, x > 0}$ ，则（）

A、 $- 1 \in A \cap B$ B、 $0 \in A \cap B$ C、 $1 \in A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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5、复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、已知向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = P A = 4$ ， $A B = B C = 2$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(2)、若 $Q$ 为线段 $P C$ 的中点，求平面 $P A D$ 与平面 $Q A D$ 的夹角的余弦值．

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8、在 ${(1 + k x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为80，则实数 $k$ 的值为.

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9、将函数 $f (x) = sin x$ 图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数 $g (x) = sin (\frac{1}{2} x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象，若点 $A (\frac{π}{3}, f (\frac{π}{3}))$ 被变换成了点 $A^{'} (x_{0}, y_{0})$ ，且 $sin x_{0} = \frac{1}{2}$ ，则 $φ$ 的所有可能值之和为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{12}$

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A B$ ， $B C$ 的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，且 $D M = 1$ ， $D N = 2$ ， $∠ M D N = 60 °$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{D N}$ ；

(2)、①求 $|\vec{a}|$ ， $|\vec{b}|$ 的值；②设 $O$ 为 $△ A D M$ 的内心，若 $\vec{A O} = x \vec{a} + y \vec{b} (x, y \in R)$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的值.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，条件①： $(b + c) (sin B + sin C) = a sin A + 3 b sin C$ ；条件②： $2 c - b = 2 a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值.

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12、若向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的一个单位向量 $\vec{b} =$ .

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13、如图所示，在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A D ∥ B C$ ， $A D = A B = \frac{1}{2} B C = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 翻折成 $△ A^{'} B D$ ，则（）

A、翻折过程中存在某个位置，使得 $A^{'} C ⊥ B D$ B、当二面角 $A^{'} - B D - C$ 为 $150 °$ 时，点 $C$ 到平面 $A^{'} B D$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ C、直线 $A^{'} B$ 与 $C D$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ D、当三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积最大时，以 $A^{'} C$ 为直径的球被平面 $A^{'} B D$ 所截的截面面积为 $\frac{π}{4}$

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14、对于任意的两个平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，下列关系式恒成立的是（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ D、 ${|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$

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15、如图所示，在坡度一定的山坡 $A$ 处测得山顶上一建筑物 $C D$ 的顶端 $C$ 对于山坡的斜度为 $15 °$ ，向山顶前进100m到达 $B$ 处，又测得 $C$ 对于山坡的斜度为 $45 °$ ，若 $C D = 50 m$ ， $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ，且山坡对于地平面的坡度为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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16、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、若向量 $\overset{⃑}{a}$ =(1，2)， $\overset{⃑}{b}$ =(2，3)，则与 $\overset{⃑}{a}$ + $\overset{⃑}{b}$ 共线的向量可以是（）

A、(2，1) B、(6，10) C、(－1，2) D、(－6，10)

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18、设 $A, B$ 是单位圆上不同的两个定点，点 $O$ 为圆心，点 $C$ 是单位圆上的动点，点 $C$ 满足 $\vec{O C} = sin α \vec{O B} + cos α \vec{O A}$ （ $α$ 为锐角）线段 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ （不包括 $A, B$ ），点 $P$ 在射线 $O C$ 上运动且在圆外，过 $P$ 作圆的两条切线 $P M, P N$ ， $M, N$ 为切点.

(1)、证明： $\vec{O B} ⊥ \vec{O A}$ ，并求 $\vec{O B} \cdot \vec{B A} + \vec{C O} \cdot \vec{C A} + \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{O D} = λ \vec{O C}, \vec{B D} = μ \vec{B A}$ ，求 $\frac{λ^{2}}{μ + 1}$ 的最小值.

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 4)$ ．

(1)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求k的值

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求k的取值范围

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20、如图所示，平行四边形 $O A B C$ ，顶点 $O, A, C$ 分别表示 $0, 4 + 3 i, - 3 + 5 i$ ，试求：

(1)、对角线 $\vec{C A}$ 所表示的复数；

(2)、求 $B$ 点对应的复数.

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