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1、在① $(sin A - sin C) sin (A + B) = {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ ， ② $\sqrt{3} sin B cos B - \frac{1}{2} cos 2 B = 1$ ， ③ $b cos C = a - \frac{\sqrt{3}}{3} c sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，且__________.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求锐角 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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2、已知复数 $z = 1 + m i$ （ $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、设复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ ，且复数 $z_{2}$ 所对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 {sin}^{2} C = {sin}^{2} A + {sin}^{2} B$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为.

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4、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $60^{\circ}$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{p} = \vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{p}$ 在斜坐标系 $O x y$ 中的坐标.设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标分别为 $(2, 1), (- 3, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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5、在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 $Trulli$ ，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 $Trulli$ 的屋顶，得到圆锥 $S O$ （其中 $S$ 为顶点， $O$ 为底面圆心），母线 $S A$ 的长为 $6m$ ， $C$ 是母线 $S A$ 的靠近点 $S$ 的三等分点．从点 $A$ 到点 $C$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 $2 \sqrt{13} m$ ．下面说法正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 ${12πm}^{2}$ B、过点 $S$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为 $8 \sqrt{2} m^{2}$ C、圆锥 $S O$ 的外接球的表面积为 $72 {πm}^{2}$ D、棱长为 $\sqrt{3} m$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2, a = 2$ ，则 $b^{2} + c^{2} = 8$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$ D、若 $b = 8, c = 10, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 解的个数为2

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7、已知 $\vec{a} = (3, - 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$ . B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ . C、与 $\vec{b}$ 同向共线的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ . D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ .

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8、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{4}, A C = 2, B C = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .在 $△ A B C$ 所在的平面内，有一个边长为1的正方形 $A D E F$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（不少于1周），则 $\vec{A E} \cdot \vec{D B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, 5]$ B、 $[- 5, 3]$ C、 $[- 3, 3]$ D、 $[- 3, 5]$

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9、下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10、在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 4 \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{15} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$ D、 $- \frac{11}{15} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$

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11、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = 120^{\circ}, A C = \sqrt{19}, A B = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、5 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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12、已知复数 $z$ 满足 $z = 2 i + 1$ ，则 $z^{2}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $2 i$ C、4 D、 $4 i$

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13、定义：若对定义域内任意 $x$ ，都有 $f (M + x) > f (x)$ ，（ $M$ 为正常数），则称函数 $f (x)$ 为“M型”增函数.

(1)、若 $g (x) = e^{x} + ln x - x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ，判断 $g (x)$ 是否为“1型”增函数，并说明理由；

(2)、若 $h (x) = e^{x^{2} + k |x| + 1}$ ， $x \in (- 1, + \infty)$ ，其中 $k (k \in R)$ 为常数.若 $h (x)$ 是“2型”增函数，求 $h (x)$ 的最小值.

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14、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $B C ∥ A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，面 $P B C \cap$ 面 $P A D = l$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E$ //平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $l ∥ A D$ ；

(3)、若 $M$ 是线段 $C E$ 上一动点，则线段 $A D$ 上是否存在点 $N$ ，使 $M N$ //平面 $P A B$ ？说明理由.

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15、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， E为 $A C$ 中点， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $F$ .

(1)、设 $\vec{A F} = λ \vec{A D}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，设 $M$ 是 $A D$ 上一点，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M A} = \vec{M C} \cdot \vec{M B}$ ，求 $\vec{F M} \cdot \vec{C A}$ 的值.

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16、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $sin B - cos C = \frac{{sin}^{2} C - {sin}^{2} A}{2 sin A sin B}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $4 b = \sqrt{3} c$ ， $A$ 为钝角，且 $B C$ 边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值及函数的单调递增区间；

(2)、若 $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3}$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $cos (- α - \frac{3 π}{2})$ 的值.

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18、在一个底面边长为4，容积为 $\frac{64 \sqrt{2}}{3}$ 的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为.

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19、在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $\frac{\vec{D A}}{|\vec{D A}|} \cdot \frac{\vec{D C}}{|\vec{D C}|} = - \frac{1}{2}$ ，梯形 $A B C D$ 外接圆圆心为 $O$ ，圆上有一个动点 $P$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围.

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20、一艘轮船按照北偏东 $50^{\circ}$ 方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东 $10^{\circ}$ 方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为 $\sqrt{19}$ 海里，则灯塔与轮船原来的距离为海里.

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