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相关试卷

1、对一个 $n$ 元数列 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ ，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数 $k \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ，将前 $k$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{k}$ 在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后 $n - k$ 个数 $a_{k + 1}, a_{k + 2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ （也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列 $1, 2, 3, 4, 5$ 进行一次洗牌，先选择 $k = 3$ ，然后数列可以变成 $1, 4, 5, 2, 3$ ，或者变成 $4, 1, 2, 5, 3$ ．特别地，如果取 $k = [\frac{n}{2}]$ （其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），且将 $a_{i} (1 \leq i \leq k)$ 放到 $a_{i + k}$ 的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”．

(1)、请写出数列 $2, 5, 4, 8$ 经过两次完美洗牌后得到的新的数列；

(2)、对任意给定的正整数 $n$ ，数列 $2^{n}, 2^{n} - 1, 2^{n} - 2, \cdot \cdot \cdot, 2, 1$ 能否经过有限次完美洗牌后变成 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 2^{n} - 1, 2^{n}$ ？并说明理由；

(3)、至少需要多少次洗牌才能将 $2025, 2024, \cdot \cdot \cdot, 1$ 变成 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2025$ ？

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2、小杜准备进行篮球定点投篮训练，有两种投篮方式，一种是跳投，投篮命中率为 $\frac{1}{2}$ ，另一种是颠投，投篮命中率为 $\frac{2}{3}$ ，每次投篮是否命中相互独立．

(1)、若小杜连续颠投10次，记进球次数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的期望；

(2)、小杜进行两种投篮方式的专项训练，第一种全部跳投，第二种全部颠投，每种训练中若没进就继续投，若投进则停止．记第一、二种训练投篮次数分别为 $X, Y (X, Y \in N^{*})$ ．
①求 $X + Y = 4$ 的概率；
②求 $Y = X + 1$ 的概率；（当 $0 < q < 1$ 时， $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ ）

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3、已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，试讨论 $f^{'} (x)$ 的极值点的个数．

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4、在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示.

月份	1	2	3	4	5	6
销售额（万元）	14	16	22	21	24	25

甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型：

模型① ${\hat{y}}^{(1)} = 2.2 x + 12.5$ ；模型② ${\hat{y}}^{(2)} = 13.2 e^{0.1 x}$ ，

两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表：

月份 $x_{i}$		1	2	3	4	5	6
销售额y（万元）		14	16	22	21	24	25
模型①	估计值	14.7	16.9	19.1	21.3	23.5	25.7
模型①	残差 ${\hat{e}}_{i}^{(1)}$	$- 0.7$	$- 0.9$	2.9	$- 0.3$	0.5	$- 0.7$
模型②	估计值	14.6	16.1	17.8	19.7	21.8	24.1
模型②	残差 ${\hat{e}}_{i}^{(2)}$	$- 0.6$	$- 0.1$	4.2	1.3	2.2	0.9

计算得到两个模型的残差平方和分别为： $\sum_{i = 1}^{6} {({\hat{e}}_{i}^{(1)})}^{2} = 10.54$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {({\hat{e}}_{i}^{(2)})}^{2} = 25.35$ ，

若定义：残差 ${\hat{e}}_{i}$ 的绝对值超过1.5的数据为异常数据.

(1)、请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？

(2)、在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 466$

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5、记数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{\frac{a_{n} + 1}{n}\}$ 是常数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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6、用 $1, 2, 3, 4$ 组成四位数，数字 $i$ 最多用 $i$ 次，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ ，则满足条件的四位数共有个．

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在 $(0, + \infty)$ 有零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = 16$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ．若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为．

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9、已知函数 $f (x) = \ln \frac{4 - x}{x} + a x$ ， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、若 $a > 0$ ，函数 $f (x)$ 有极值点 B、若 $a = \frac{4}{3}$ ，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、若不等式 $f (x) > 2 a$ 的解集为 $(0, 2)$ ，则 $a \leq 0$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + λ a_{n + 1} + a_{n + 2} = 0 (λ \in R, n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则（）

A、存在实数 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、不存在实数 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、存在实数 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是周期数列 D、不存在实数 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是递增数列

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11、已知 $(1 + 2 x) {(x - 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{0}$ 的值为 $- 32$ B、 $a_{5}$ 的值为160 C、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2}$ 的值为 $- 3^{6}$ D、 $\sum_{i = 0}^{6} (2^{i} \cdot a_{i}) = 0$

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12、已知不等式 $e^{x} + a \geq a ln (a x - a)$ 对任意的 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, e^{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[e^{2}, + \infty)$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a_{1}}{2^{n - 2}} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} < 2025$ 恒成立，则 $a_{1}$ 的最大值为（）

A、403 B、404 C、405 D、406

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14、连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则该函数的图象是（       ）


A、    B、    C、    D、

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16、在二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，二项式系数最大的项是（）

A、 $60 x^{4}$ B、160 C、 $240 x^{- 2}$ D、 $192 x^{- 4}$

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17、利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用 $2 \times 2$ 列联表，计算可得 $χ^{2} = 7.233$ ，参照临界值表：下列叙述正确的是（）
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” B、在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” C、某学生是该校女生，那么她有 $0.05 %$ 的可能爱好数学 D、某学生是该校男生，那么他有 $99.5 %$ 的可能爱好数学

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 36$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、11

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19、已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩 $X$ （单位：分）近似服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ，且 $P (X < 110) = 0.8$ ，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间 $(70, 90)$ 内的概率近似为（）

A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3

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20、对于三维向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}, z_{k}) (x_{k}, y_{k}, z_{k} \in N, k = 0, 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中 $x_{k + 1} = | x_{k} - y_{k} |, y_{k + 1} = | y_{k} - z_{k} |, z_{k + 1} = | z_{k} - x_{k} |$ .记 $〈 \vec{a_{k}} 〉 = x_{k} \cdot y_{k} \cdot z_{k}, | | \vec{a_{k}} | | = x_{k} + y_{k} + z_{k}$ .

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (3, 1, 2)$ ，求 $〈 \vec{a_{2}} 〉$ 及 $| | \vec{a_{2}} | |$ ；

(2)、已知 $\vec{a_{1}} = (p, 2, q) (q \geq p), | | \vec{a_{1}} | | = 2024$ ，
（i）求 $p, q$ 的值；
（ii）将 $\vec{a_{1}}$ 再经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $| | \vec{a_{m}} | |$ 最小，求 $m$ 的最小值.

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828