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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、当 $a b = 1$ 时， $f (a) = f (b)$ B、当 $0 < a < b < 1$ 时， $f (a) > f (b)$ C、当 $- 1 < a < 0$ 且 $\frac{1}{a} < b < a$ 时， $f (a) > f (b)$ D、当 $b > 1$ 且 $\frac{1}{b} < a < b$ 时， $f (a) < f (b)$

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2、已知直线 $l$ ： $x - 2 y + 1 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、当 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $a = \sqrt{5} - 1$ B、当 $l$ 为圆 $C$ 的一条对称轴时， $a = - 1$ C、当 $a = 2$ 时， $l$ 与圆 $C$ 没有公共点 D、当 $a = - 2$ 时， $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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3、已知 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β) = \frac{\cos β}{\cos α}$ ，则（）

A、 $cos (α - β) = - 1$ B、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = 0$ D、 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$

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4、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在正四面体表面上运动，并且总保持 $P E ⊥ B C$ ，则动点 $P$ 的轨迹周长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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5、已知函数 $f (x + 1) - 1$ 是奇函数，则 $f (0) + f (2) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $4 c^{2} + b^{2} = 4 a b \sin C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7、我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（）

A、10.5 B、10.45 C、10.4 D、10.25

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $x \vec{a} - 9 \vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、6 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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9、已知 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z - 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10、已知集合 $A = \{x | \log_{2} (x - 2) \leq 1\}$ ， $B = \{x | 2 x - a \leq 0\}$ ，且 $A \cap B = \{x |2 < x \leq 3\}$ ，则 $a =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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11、“ $x > 1$ 是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、数据 $12$ ， $12$ ， $12$ ， $14$ ， $15$ 的平均数与众数的差为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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13、深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中 $\frac{2}{5}$ 的人选择只游览海滨栈道，另外 $\frac{3}{5}$ 的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.

(1)、从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、从游客中随机抽取 $n$ 个人 $(n \in N^{*})$ ，记这 $n$ 个人的合计得分恰为 $n + 1$ 分的概率为 $p_{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i}$ ；

(3)、从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 $n$ 分 $(n \in N^{*})$ 的概率为 $a_{n}$ ，随着抽取人数的无限增加， $a_{n}$ 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上，且 $M F ⊥ x$ 轴.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, A B$ $∥$ $C D, A D ⊥ C D, P A = P D = A D = C D = 2$ ， $A B = 1, M$ 为棱 $P C$ 上一点.

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A$ $∥$ 平面 $B M D$ ，求直线 $P C$ 与平面 $B M D$ 所成角的正弦值.

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16、已知 $a > 0, b > 0, c > 0, a + 2 b + 2 a b = 3, \frac{(a + 2) (c + 1)}{3 (a + 1)} + \frac{c + 1}{6 b + 3} + \frac{4}{c + 2}$ 的最小值为.

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17、如图，等边 $△ A B C$ 的边长为4， $D$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 折成三棱锥 $A_{1} - B C D$ ， $A_{1}$ ， B，C，D都在球 $O$ 的球面上．记 $A_{1} C$ ， $A_{1} D$ ， $A_{1} B$ 与平面 $B C D$ 所成的角分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ，平面 $A_{1} D C$ ， $A_{1} D B$ ， $B D C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角分别为 $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ ，则（）

A、 $C D$ 与 $A_{1} B$ 所成的角为定值 B、球 $O$ 的表面积的最大值为 $20 π$ C、 $\frac{2}{\tan β_{1}} \neq \frac{1}{\tan α_{1}} + \frac{1}{\tan γ_{1}}$ D、存在点 $A_{1}$ 使得 $α_{2} = β_{2} = γ_{2}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) = {(x - 1)}^{3} + 2 (x - 1)$ ，下列判断正确的是（）

A、函数 $f^{'} (x)$ 关于 $(1, 0)$ 中心对称，函数 $f (x)$ 关于 $x = 1$ 轴对称 B、在复数范围内方程 $f^{'} (x) = 0$ 有三个根，且三个根的和为3 C、 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f (x^{2})$ D、四次函数 $g (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e (a \neq 0)$ 必为轴对称函数

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1, g (x) = m (e^{x} - x - 1 - 2 m) (e^{x} - x + m + 2)$ ，对任意 $x \in [1, + \infty)$ ，都有 $g (x) < 0$ ，且存在 $x_{0} \in (- \infty, - 1)$ ，使得 $g (x_{0}) > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e)$ B、 $(- 1 - e, - \frac{1}{e})$ C、 $(- 1 - e, - 3 - \frac{1}{e})$ D、 $(- e, - \frac{1}{e})$

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20、只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（）

A、30个 B、36个 C、42个 D、48个

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