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相关试卷

1、已知 $⊙ C$ 的半径为 $1$ ，直线 $l : a x + 2 b y + 3 c = 0$ 恒过点 $C$ ，且 $a, b, c$ 成等差数列，过点 $P (2, - 1)$ 作 $⊙ C$ 的切线，则点 $P$ 到切点的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3$

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2、曲线 $y = e^{- 2 x} + 1$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与直线 $y = 0$ 和 $y = x$ 围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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4、若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = - 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

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5、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | |x - 2| \leq 1\}$ ， $B = \{x | x \geq 2\}$ ，则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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6、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E、F、G分别为棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B_{1} E$ ∥平面 $A C G$ ；

(2)、在线段 $C C_{1}$ 是否存在一点 $N$ ，使得平面 $N E F$ ∥平面 $A_{1} B C_{1}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{c} + 2 \vec{d}|$ ．

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8、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ；当 $t \in [- 1, 2]$ 时， $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为．

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9、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

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10、下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线

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11、如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若 $\vec{A B} = λ \vec{A M} + μ \vec{A N}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = \sqrt{6}$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{O B}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{O B}$

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13、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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14、在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数 $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $e$ 是自然对数的底数（ $e = 2.71828$ …）

(1)、解方程 $\sinh (x) \cdot \cosh (x) = 1$ ；

(2)、求不等式 $\cosh (2 x - 1) - \cosh (x - 2) < 0$ 的解集；

(3)、对于任意 $x_{1} \in [0, \ln 3]$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使不等式 $\cosh (x_{2}) + \sinh (x_{1}) \leq a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{3}, x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = a$ 在区间 $(0, \frac{7}{6} π)$ 上恰有三个交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (m) = f (n), n > m > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值；

(3)、若方程 ${(\ln x)}^{2} - 2 a |\ln x| + 2 a^{2} - 2 = 0$ 有四个不等实根，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 2)$ ，求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 1$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{2}, 3), f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边经过点 $(- 1, - 2)$ ．

(1)、求 $\tan α$ 和 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{π}{2} - α)}{2 \sin (π - α) + \sin (\frac{3}{2} π + α)}$ 的值．

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19、已知实数 $x, y$ 满足 $3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围是．

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20、不等式 $k x^{2} + 2 k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围

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