高中数学沪教版-试题列表-第30页

1、已知复数

z

满足

z (1 + i) = |2 - i|

，则复数

z

对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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2、对于集合

A

，定义

g_{A} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \notin A \\ - 1, x \in A \end{array}

.对于两个集合

A

、

B

，定义运算

A * B = \{x |g_{A} (x) \cdot g_{B} (x) = - 1\}

．

（1）若 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，写出 $g_{A} (1)$ 与 $g_{B} (1)$ 的值，并求出 $A * B$ ；

（2）证明： $g_{A * B} (x) = g_{A} (x) \cdot g_{B} (x)$ ；

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3、如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点

.

已知

A B = 4

米，

A D = 3

米，设AN的长为

x (x > 3)

米

.

(1)、要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)、求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；

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4、已知函数

y = (k −1) x^{2} + (k −3) x +1

(1)、若关于

x

的不等式

(k −1) x^{2} + (k −3) x +1≥0

的解集为全体实数

R

，求实数

k

的取值范围

(2)、若关于

x

的方程

(k −1) x^{2} + (k −3) x +1=0

的两根为

x_{1}

，

x_{2}

，且

x_{1} <2

，

x_{2} <2

，求实数

k

的取值范围

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5、已知集合

A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 < 0\}

，

B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m - 1, m \in R\}

.

（1）若 $m = 4$ ，求集合 $∁_{R} A$ ，集合 $A \cup ∁_{R} B$ ；

（2）若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合

A = \{- 1, \frac{1}{2}, 1\}

，

B = \{x | x^{2} = a\}

.若

A

与

B

构成“全食”，则

a

的取值范围是；若

A

与

B

构成“偏食”，则

a

的取值范围是.

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7、已知命题

p

：

a \leq x \leq a + 1

，命题

q

：

x^{2} - 4 x < 0

，若

p

是

q

成立的充分不必要条件，则实数

a

的取值范围是.

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8、已知

x \geq 0

，

y \geq 0

，

x + 2 y = 1

，则

x y

的最大值是．

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9、集合

A = {x | x \geq 1}

，

B = {x | x \leq a}

，

A \cup B = R

，则实数

a

的取值范围是

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10、已知方程

x^{2} - 4 x + a = 0

的两根都大于1，则

a

的取值范围是（）

A、

3 < a \leq 4

B、

1 < a \leq 4

C、

a > 1

D、

a \leq 4

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11、若集合

A = \{x | x^{2} −5 x +6<0\}

，

B = \{x | x^{2} −4 a x +3 a^{2} <0\}

，且

A ⊆ B

，则实数a的取值范围是（　　）

A、

1< a <2

B、

1≤ a ≤2

C、

1< a <3

D、

1≤ a ≤3

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12、对于实数

a

，

b

，

c

下列命题中的真命题是（）

A、若

a > b

，则

a c^{2} > b c^{2}

B、若

a > b > 0

，则

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

C、若

a < b < 0

，则

\frac{b}{a} > \frac{a}{b}

D、若

a > b

，

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

，则

a > 0

，

b < 0

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13、已知函数

y =2 x^{2} +2 x +1

，则当

−1≤ x ≤1

时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A、5，

\frac{1}{2}

B、5，1 C、5，

\frac{1}{4}

D、1，

\frac{1}{2}

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14、若集合

X = \{x | x < 1\}

，下列关系式中成立的是（）

A、

0 \subseteq X

B、

\{0\} \subseteq X

C、

\emptyset \in X

D、

\{0\} \in X

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15、命题“

\exists x_{0} \in R

，

1 < f (x_{0}) ⩽ 2

”的否定形式是（）

A、

\forall x \in R

，

1 < f (x) ⩽ 2

B、

\exists x_{0} \notin R

，

1 < f (x_{0}) ⩽ 2

C、

\forall x \in R

，

f (x) ⩽ 1

或

f (x) > 2

D、

\exists x_{0} \in R

，

f (x_{0}) ⩽ 1

或

f (x_{0}) > 2

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16、已知集合

A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \in N^{*}, n \geq 3)

具有性质

P

：对任意

i, j (1 \leq i \leq j \leq m)

，

a_{i} + a_{j}

与

a_{j} - a_{i}

至少一个属于

A

.

(1)、分别判断集合

C = \{0, 2, 4\}

与

D = \{1, 2, 3\}

是否具有性质P，并说明理由；

(2)、

A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}

具有性质P，当

a_{2} = 2023

时，求：集合A；

(3)、当

n = 2025

时，请直接写出

f (n) = \frac{a_{n}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}}

的值.

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17、在①

A = \{x | \frac{1}{x} > 1\}

， ②

A = {x | x > 1}

这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.

设集合________，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} = 0\}$ ；

(1)、若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；

(2)、若

A \cup B = A

，求实数a的取值范围.

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18、汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间

t_{0}

、人的反应时间

t_{1}

、系统反应时间

t_{2}

、制动时间

t_{3}

，相应的距离分别为

d_{0}

，

d_{1}

，

d_{2}

，

d_{3}

，当车速为v（单位：m/s），且

0 \leq v \leq 33.3

时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且

0.5 \leq k \leq 0.9

）.

阶段	准备	人的反应	系统反应	制动
时间	$t_{0}$	$t_{1} = 0.8 s$	$t_{2} = 0.2 s$	$t_{3}$
距离	$d_{0} = 20 m$	$d_{1}$	$d_{2}$	$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k} m$

(1)、请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当

k = 0.9

时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h.

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19、命题

α

：关于

x

的方程

x^{2} + 3 x + m + 2 = 0

有两个相异负根．命题

β

：关于

$x$ 的不等式 $x^{2} + 4 m x + 8 m + 12 > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立．

(1)、若命题

α

为真命题，求实数

m

的取值范围；

(2)、若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数

m

的取值范围．

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20、已知R的子集U为一个数集，集合

A = \{s^{2} + 3 t^{2} | s, t \in U\}

.

(1)、设

U = {1, 3, 5}

，求：集合A的非空真子集个数；

(2)、设

U = ​ ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Z

，证明：若

x \in A

，则

7 x \in A

.

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