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相关试卷

1、设 $F_{1} 、 F_{2}$ 是椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是第一象限内 $Γ$ 上的动点，直线 $P F_{2}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{2}$ .已知存在点 $P$ ，使得 $|P F_{2}| = 2 |F_{2} Q_{2}|, \tan ∠ P F_{1} Q_{2} = \frac{3}{4}, △ Q_{2} F_{1} F_{2}$ 的面积为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{1}$ ，记 $r_{1} 、 r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} Q_{2} 、 △ P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径，求 $r_{1} - r_{2}$ 的最大值.

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2、函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[- π, π]$ 的大致图象如图所示，将曲线 $y = f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $x \in [- π, π]$ ，解不等式 $\sin^{3} x - g^{3} (x) > 2 g (x + \frac{π}{4})$ ；

(3)、设 $t \in [0, π]$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x + t) = 1 - g (x)$ 有解，求 $t$ 的取值范围.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，其中 $A D / / B C, P B ⊥ A D, A D =$ $2 B C = 6,$ $A B = P A = P B = 4$ ， $C D = 5$ ，点E、F分别为棱PD、AD的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD；

(2)、请作出四棱锥 $P - A B C D$ 过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；

(3)、过B、E、F三点的平面上是否存在动点 $M$ ，使其到点 $C$ 的距离为3？若存在，求点 $M$ 在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = a {(x - 4)}^{2} + 6 ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, 9)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点.

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项均为 $1$ ， $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $\{\log_{3} (b_{n + 1} - b_{n})\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求 $a_{100}$ .

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6、 $4$ 个球随机装进 $3$ 个盒子，则装有球的盒子个数的期望为.

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7、如图是正四面体的平面展开图， $G, H, M, N$ 分别是 $D E, B E, E F, E C$ 的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（）

A、 $D E$ 与 $M N$ 平行 B、 $B D$ 与 $M N$ 为异面直线 C、 $G H$ 与 $M N$ 成 $60^{°}$ 角 D、 $D E$ 与 $M N$ 垂直

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8、从甲口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（）

A、2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球都不是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ C、2个球不都是白球的概率为 $\frac{5}{6}$ D、2个球恰好有一个球是白球的概率为 $\frac{1}{2}$

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9、集合 $M = \{x |\ln x - \frac{x}{e} + 1 = 0\}$ 中所有元素之和记作 $|M|$ ，则（）

A、 $| M | = 2$ B、 $| M | < 2$ C、 $| M | = 2 e$ D、 $| M | > 2 e$

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10、已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则下列结论中正确的个数是（）
① $a_{0} = 2^{11}$ ；
② $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ ；
③ $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ ；
④ $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知命题 $p$ ： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) = \cos (\frac{π}{4} + α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ B、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ C、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ D、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$

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12、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、 $\tan 19^{°} + \tan 11^{°} + \frac{\sqrt{3}}{3} \tan 19^{°} \tan 11^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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14、抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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15、现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记两次抛掷后正面朝上的次数之和为 X.

(1)、当n=2时，求X 的分布列与数学期望；

(2)、对确定的n，∀k∈{0，1，2，…，2n}，∃m∈{0，1，2，…，2n}，使得. $P (X = m) \geq P (X = k)$ 成立，请直接写出m，不用推导；

(3)、求E(X).

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16、已知双曲线L $: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2},$ ，离心率为2，M为E上的动点，且M 到两焦点的距离的差的绝对值为2.

(1)、求 E 的方程；

(2)、过点M 作斜率为 $\frac{a}{b}$ 和 $- \frac{a}{b}$ 的直线，分别与 E 交于点G、H，求|GH|的最小值；

(3)、过点 F₁ 的直线l₁交E于A、B 两点，过点 F₂的直线l₂交E于C、D 两点，l₁与l₂交于点 P，且l₁与l₂的斜率之积为 $\frac{b^{2}}{a^{2}} .$ 证明：△PAD 与 △PBC 面积的乘积为定值.

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17、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形， $A A_{1} = b, ∠ A_{1} A B =$ $∠ A_{1} A D = ∠ D A B = θ (0 < θ < π) .$

(1)、证明：平面A₁ACC₁⊥平面 D₁DBB₁；

(2)、对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；

(3)、在(2)的条件下，当直线A₁C与平面AB₁C 所成的角最大时，求a与b的关系.

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18、记 S_n为等差数列{an}的前n项和，已知 $a_{3 n} = 3 a_{n} + 2, S_{2 n} = 4 S_{n} .$

(1)、求 a_n；

(2)、记数列{b_n}的前n项和为T_n ，且 $T_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n + 1}} .$ 若对 $\forall n \in N^{*}, T_{n} \leq k a_{n} + b_{n},$ 求k 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x .$

(1)、若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；

(2)、对于函数g(x)，若 $g (x_{0}) = x_{0},$ 则称x₀为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.

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20、已知点 A、B分别为曲线 $y = e^{x}$ 和 $y = e^{2 - x}$ 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|<e，则四边形ABCD 面积的最大值为.

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