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相关试卷

1、如图，四个棱长为 $1$ 的正方体排成一个正四棱柱， $A B$ 是一条侧棱， $P_{i} (1, 2, \dots, 8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{i}} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的不同值的个数为（　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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2、如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且 $A D = A E = 2$ ， F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ C、 $(0, - 1, - 1)$ D、 $(- 1, 0, - 1)$

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4、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

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5、若如图中的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, - 5, - 6)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2, - 1, - 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $|\vec{a}| = 6$

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7、直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 的斜率及在 $y$ 轴上的截距分别为（）

A、 $\frac{3}{4}$ ， $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$ ， $\frac{2}{3}$

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8、在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in {0, 1}, i = 1, 2, 3$ ，而在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in {0, 1} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ ．现有如下定义：在 $n$ 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots \dots, b_{n})$ 坐标差的绝对值之和，即为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ ．回答下列问题：

(1)、求出 $n$ 维“立方体”的顶点数；

(2)、在 $n$ 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离．
①求 $X$ 的分布列与期望；
②求 $X$ 的方差．

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9、已知 $P (x, y)$ 在曲线 $C : x + 1 = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}$ ，直线 $l : y = k (x - 1)$ 交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若过 $(1, 0)$ 且与l垂直的直线 $l^{'}$ 与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限）
（ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值．
（ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．

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10、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °, A C = 2$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离．

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11、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{2 x}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{3}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $C$ 为锐角，且 $\sin^{2} C + \cos 2 C = \frac{3}{4}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 6$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若 $|A F_{1}| \leq 4 |B F_{1}|$ ，则C的离心率的最大值是．

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14、若直线l既和曲线 $C_{1}$ 相切，又和曲线 $C_{2}$ 相切，则称l为曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的公切线．已知曲线 $C_{1} : y = e^{x} - 1$ 和曲线 $C_{2} : y = 1 + \ln x$ ，请写出曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一条公切线方程：．

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15、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2, B C = \sqrt{3}$ ， E是 $C D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D C} =$ ．

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16、设 $a > 1$ ， $b > 0$ ，且 $\ln a = 2 - b$ ，则下列关系式可能成立的是（）

A、 $a = b$ B、 $b - a = e$ C、 $a = 2024 b$ D、 $a b \leq e$

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ､ F$ 分别是 $B D$ 和 $B_{1} C$ 的中点，则（）

A、 $E F ⊥ B D$ B、 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、 $E F ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ D、 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x} - 1, x \leq 0 \\ l g x, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f^{2} (x) - 2 f (x) - m^{2} + 1 = 0$ 有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 1] \cup [1, 2)$ D、 $[- 1, 1]$

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19、双曲线x²－ $\frac{y^{2}}{3}$ ＝1的渐近线与圆x²＋(y－4)²＝r²(r＞0)相切，则r＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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20、已知 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 10$ B、 $- 20$ C、10 D、20

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