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相关试卷

1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 λ x - 4 λ y - 4 = 0$ 的圆心 $C$ 在直线 $x + y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、是否存在斜率为1的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点 $O$ ？若存在，求 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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2、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，动点 $M (x, y)$ 满足直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线？

(2)、若过 $D (3 ， 0)$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $E ， F$ 两点，求 $|E F|$ ．

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3、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{2}, 2)$ B、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 2)$ C、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(1 + \frac{\sqrt{5}}{5}, 1 + \frac{3 \sqrt{5}}{5})$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，则点 $(0, - 3)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、2

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5、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{5}$ B、 $4 + 2 \sqrt{5}$ C、 $6 + 2 \sqrt{13}$ D、 $4 + 2 \sqrt{13}$

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6、已知 $P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，则点 $P$ 到直线 $(2 + λ) x - (1 + λ) y - 6 - 4 λ = 0$ 的距离的取值范围为（）

A、 $[2 \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} + 1]$ B、 $[0, 2 \sqrt{2} + 1]$ C、 $[2 \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $[0, 2 \sqrt{2} + 1)$

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7、如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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8、设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式 $f (t - 1) + f (t^{2}) < f (0)$ .

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9、根据下列条件，求 $f (x)$ 的解析式．

(1)、已知 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} + 4 x + 1$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ；

(3)、已知 $f (x)$ 满足 $2 f (\frac{1}{x}) + f (x) = x (x \neq 0)$ ．

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10、已知 $a > 0, b > 0, c > 0$ ， $a^{2} - a b + 9 b^{2} - 5 c = 0$ ，当 $\frac{c}{a b}$ 最小时， $x^{2} - 3 x \geq a + b - \frac{1}{3} c$ 恒成立，则 $x$ 的取值集合是.

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11、已知 $f (\frac{x}{2} - 1) = x + 3$ ，则 $f (6)$ 的值为．

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12、若 $m, n$ 都为正实数，且 $m + n = 2$ ，则（）

A、 $m n$ 的最大值为11 B、 $n^{2} + 2 m < 3$ C、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为2 D、 $\frac{2}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值为9

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则不等式 $f (x + 5) > \frac{f (x^{2} - 25)}{x - 5}$ 的解集为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $(6, + \infty)$ D、 $(6, 10)$

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14、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(2, 4]$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, 4]$

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15、已知 $2 < a < 4$ ， $- 2 < b < - 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(3, 6)$

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16、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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17、已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并根据定义证明；

(3)、设函数 $h (x) = 3^{x} + a$ ，若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = h (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 6$ .

(1)、求 $a b$ 的最大值；

(2)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值；

(3)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 2, x < 1 \\ \frac{1}{4} (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (3))$ 的值；

(2)、作出函数 $y = |f (x)|$ 在 $[- 5, 5]$ 上的图象；

(3)、指出函数 $y = |f (x)|$ 在 $[- 5, 5]$ 上的单调区间及值域.

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20、已知集合 $A = \{x |x^{2} > x + 6\}$ ， $B = \{x |a \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} B) \cap A$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围．

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