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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正项，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，若对 $\forall n \in N *$ 总 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ 使不等式 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \sin x - \sqrt{3} \cos x - λ \leq 0$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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2、已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是.

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3、北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩 $x \in [0, 15]$ ，且 $x \in N^{*}$ ，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）

A、13 B、12 C、11 D、10

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4、下列四个命题中正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ ；
④如果 $a$ 与平面 $α$ 上的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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5、设 $x, y \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2), \overset{⇀}{b} = (3, y),$ $\overset{⇀}{c} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c},$ 则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 等于

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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7、在平面直角坐标系xOy中，利用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中a，b，c，d为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $x y = 3$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到双曲线C．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线 $l_{2}$ 是过C的右支上点P的切线，且 $l_{2}$ 不与x轴垂直， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ．
①求证：点 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 均在以O为圆心的定圆上，且 $O T_{1} ∥ P F_{2}$ ， $O T_{2} ∥ P F_{1}$ ；
②求证： $| F_{1} T_{1} | \cdot | F_{2} T_{2} |$ 是定值．

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8、如图，已知圆E： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $F (1, 0)$ ， P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．

(1)、求动点Q的轨迹C的方程；

(2)、设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与 $C$ 交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．

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9、已知圆C过点 $A (- \sqrt{15}, 1)$ 和 $B (2 \sqrt{3}, 4)$ ，且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l过点 $P (2, 0)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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10、已知点 $P (- 2, 3, 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，则 $|P P_{2}| =$ .

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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12、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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13、在 $△ A B C$ 中， $A C = 7 ， B C = 4 ， \vec{A D} = 2 \vec{D B} ， C D = \sqrt{19}$ ，则 $B D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (3, 1, - 1)$ ， $C (2, 2, - 2)$ ，点 $P (- 1, y, 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $y$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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15、为了节能减排，学校决定安装一个可使用 $10$ 年的太阳能供热设备，并接入电网.安装这种设备的费用 $y$ （单位：万元）与太阳能电池板的面积 $x$ （单位：平方米）成正比，比例系数为 $2$ .为了保证正常热水供应，安装后采用太阳能和电能互补的模式.设在此模式下，安装后学校每年消耗的电费 $C$ （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 $x$ （单位：平方米）之间的函数关系是 $C (x) = \{\begin{cases} \frac{k - x^{2}}{10}, 0 \leq x \leq 4 \\ \frac{4 k}{10 x + 50}, x > 4 \end{cases}$ （ $k$ 为常数）.已知太阳能电池板面积为 $3$ 平方米时，每年消耗的电费为 $4.1$ 万元.记 $F (x)$ （单位：万元）为学校安装这种太阳能设备的费用与学校 $10$ 年所消耗的电费之和.

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、写出 $F (x)$ 的解析式；

(3)、当 $x$ 为多少平方米时， $F (x)$ 取得最小值？最小值是多少万元？

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16、（1）已知： $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ ；
（2）已知 $\log_{2} 3 = a, \log_{2} 7 = b$ ，试用 $a, b$ 表示 $\log_{42} 56$ .

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17、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1} - m}{1 + 2^{x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x \in [1, 2]$ ，不等式 $f (\frac{3^{x}}{3^{x} + 1}) + f (a \cdot 3^{x} + a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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18、已知：关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为.

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19、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + x, x \leq 2 \\ f (x - 3), x > 2 \end{matrix}$ ，则 $f (3) =$ .

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20、已知 $x > 0, y > 0, 2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $1$ D、 $\frac{x}{y} + \frac{1}{x}$ 的最小值为 $4$

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