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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{3})$ B、 $[0, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3}, π)$

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2、设 $i$ 为虚数单位，则在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表：
$x$
6
8
9
$t$
12
$y$
2
3
4
5
6

(1)、若学科知识整合能力指标的平均值 $\bar{x} = 9$ ，
（ⅰ）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；

(2)、现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为 $m (0 < m < 1)$ ，第二门科目通过概率为 $\frac{1}{4}$ ，第三门科目通过概率为 $\frac{2}{3}$ ，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.
（附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ）

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4、根据下列条件，求函数 $f (x)$ 的解析式.

(1)、已知函数 $f (x)$ 是一次函数，若 $f (f (x)) = 4 x + 8$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x - 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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5、甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有种.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} - 6, x > 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ ， $f (x)$ 的最小值是.

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7、下列命题是假命题的是（）

A、命题“ $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - x \geq 0$ ”的否定是“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x < 0$ ” B、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 最小值为 $\frac{5}{2}$ C、函数 $y = \lg 10^{x}$ 与 $y = 10^{\lg x}$ 是同一个函数 D、若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x | 1 < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |\frac{1}{3} < x < 1\}$

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8、下列叙述中正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $2021 x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $2021 x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 > 0$ ” B、“ $a^{2} = 1$ ”是“直线 $x + y = 0$ 和直线 $x - a y = 0$ 垂直”的充分而不必要条件 C、命题“若 $m^{2} + n^{2} = 0$ ，则 $m = 0$ 且 $n = 0$ ”的否命题是“若 $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ，则 $m \neq 0$ 且 $n \neq 0$ ” D、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 一真一假

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9、下列图象中，函数 $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10、设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”是“ $|x - 2| < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知集合 $U = \{x \in N |- 1 < x < 5\}$ ， $A = \{0, 1, 3\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 4\}$

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12、设公比为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 8, S_{2} = 6$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $2 T_{n + 1} \leq M (n + b_{32}) b_{n + 2}^{2} (n \in N^{*})$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意正整数 $n$ ， $a_{n} = \frac{3}{4} S_{n} + 2$ 成立．

(1)、 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{n + 1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{a}{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有极值，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ 处导数相等，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 2$ .

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15、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{n + 1} = a_{n} - n$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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16、若 $θ$ 为第二象限角，且 $tan (π + θ) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + cos θ}{1 - sin (\frac{π}{2} - θ)}} + \sqrt{\frac{1 - cos θ}{1 + sin (θ - \frac{3 π}{2})}}$ 的值是．

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17、已知函数 $f (x) = |2^{x} - 2| - m$ 有且只有一个零点，则实数m的取值范围是．

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18、设函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有二个零点 B、过点 $(0, - 4)$ 仅可以作一条直线与 $f (x)$ 的图象相切 C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, m + 4)$ 上有最大值，则 $m$ 的取值范围为 $(- 3, 0]$

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19、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 的一个周期为 4 C、 $f (\frac{5}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 0$ D、 $f (x)$ 在区间 $(5 ， 6)$ 上单调递增

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20、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 6 a_{3} + 1 ， a_{2} = 2$ ，则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 有最小项 C、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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$x$	6	8	9	$t$	12
$y$	2	3	4	5	6