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相关试卷

1、设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (x)$ 在区间 $D$ 上单调递增，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的凹函数，区间 $D$ 称作函数 $f (x)$ 的凹区间；反之，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的凸函数，区间 $D$ 称作函数 $f (x)$ 的凸区间.

(1)、已知函数 $g (x) = ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，求 $g (x)$ 的凹、凸区间；

(2)、如图所示为某个凹函数 $y = m (x)$ 的图象，在图象上任取两个不同的点 $A (x_{1}, m (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, m (x_{2}))$ ，过线段 $A B$ 的中点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，与函数图象和 $x$ 轴分别交于 $D$ ， $E$ 两点，则有 $|C E| > |D E|$ .
①将不等关系 $|C E| > |D E|$ 转化为对应的不等式；
②证明：当 $x$ ， $y \in (0, 2)$ 时， $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y}) \geq {(\frac{x + y}{2} + \frac{2}{x + y})}^{2}$ 恒成立.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $A$ 到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $M N$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M 、 N$ 两点，过点 $M$ 作直线 $m : x = - 2 a$ 的垂线 $M E, E$ 为垂足.求：
①已知直线 $E N$ 过定点 $P$ ，求定点 $P$ 的坐标；
②点 $O$ 为坐标原点，求 $△ O E N$ 面积的最大值.

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3、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一定点，并且点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和2. $B$ ， $C$ 分别是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，设 $∠ A B D = x$ .

(1)、写出 $△ A B C$ 面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式 $S (x)$ ；

(2)、求函数 $S (x)$ 的最小值及相对应的 $x$ 的值.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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5、人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{m} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{m}$ 为法向量，点 $P (x, y, z)$ 是平面内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为“ $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0})$ ”．现已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，平面 $C D D_{1} C_{1}$ 的方程为 $x - 2 y + z - 2 = 0$ ，平面 $A D D_{1} A_{1}$ 经过点 $E (0, 0, 1), F (1, 1, 2), G (2, 2, 1)$ ，平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的方程为 $k x - t y - 2 z + 1 = 0 （ 1 \leq t \leq 2 ）$ ，则平面 $C D D_{1} C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值的最大值为．

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6、曲线 $y = e^{x} \ln x + 1$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是．

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7、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 是以10为首项，以 $- 2$ 为公差的等差数列， $a_{m + 1}, a_{m + 2}, \dots, a_{2 m}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，以 $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列 $(m \geq 3, m \in N^{*})$ ，对一切正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 2 m} = a_{n}$ .设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时， $a_{12} = \frac{1}{8}$ B、当 $a_{23} = - 2$ 时， $m = 8$ C、当 $a_{2024} = 4$ 时， $m = 10$ D、不存在 $m$ ，使得 $S_{2024 m + 3} \geq 31396$ 成立

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8、根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{cases} Y = b x + a + e \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{cases}$ 得到线性回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则残差模型（）

A、满足回归模型 $E (e) = 0$ 的假设 B、不满足回归模型 $E (e) = 0$ 的假设 C、满足回归模型 $D (e) = σ^{2}$ 的假设 D、不满足回归模型 $D (e) = σ^{2}$ 的假设

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9、已知函数 $f (x) = 2 cos (x - \frac{π}{6}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1, 3]$ C、 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{3}, 1)$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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10、在 $△ A B C$ 中，命题 $P : {sin}^{2} A = {cos}^{2} B + {cos}^{2} C$ ，命题 $Q : |\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{B C}|$ ，则P是Q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与 $\vec{B C}$ 垂直的单位向量 $\vec{j}$ ，因为 $\vec{B C} + \vec{C A} = \vec{B A}$ ，所以 $\vec{j} \cdot (\vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{j} \cdot \vec{B A}$ ．由分配律，得 $\vec{j} \cdot \vec{B C} + \vec{j} \cdot \vec{C A}) = \vec{j} \cdot \vec{B A}$ ，即 $|\vec{j}| |\vec{B C}| cos \frac{π}{2} + |\vec{j}| |\vec{C A}| cos (\frac{π}{2} - C) = |\vec{j}| |\vec{B A}| cos (\frac{π}{2} - B)$ ，也即 $b \sin C = c \sin B$ ．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $C A = b$ ， $∠ A D E = θ$ ，则 $θ$ 与△ABC的边和角之间的等量关系为（）

A、 $a \sin (B - θ) + b \sin (A + θ) = c \sin θ$ B、 $a \sin (B + θ) + b \sin (A - θ) = c \sin θ$ C、 $a \cos (B - θ) + b \cos (A + θ) = c \cos θ$ D、 $a \cos (B + θ) + b \cos (A - θ) = c \cos θ$

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12、下列说法中正确的是（）

A、 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为4 B、 $\frac{a + b}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为2 C、 $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1}$ 的最小值为1

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13、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小为（）.

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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14、经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（）．

A、厂商希望（1），客户希望（2） B、厂商希望（2），客户希望（1） C、厂商希望（1），客户希望（1） D、厂商希望（2），客户希望（2）

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15、若 $z = a + \frac{i}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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16、随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
5
15
35
30
10
5

(1)、假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；

(2)、由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布 $N (μ, δ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）， $δ^{2} = 180$ ，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；

(3)、考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，答对最后一题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据： $\sqrt{180} \approx 13.4$ ；若 $X ~ N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < X < μ + δ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 δ < X < μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 δ < X < μ + 3 δ) \approx 0.9973$ ．）

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4, S_{n} = a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{\frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、 $S_{n} = 2^{n}$ C、 $T_{n} \geq \frac{3}{8}$ D、 $T_{n} < \frac{1}{2}$

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18、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为1 C、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切 D、 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值 $- \frac{1}{2}$

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19、下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ 是偶函数 B、存在实数 $α$ ，使 $\sin α \cos α = 1$ C、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{4})$ 图象的一条对称轴 D、若 $α$ ， $β$ 都是第一象限角，且 $α > β$ ，则 $\sin α > \sin β$

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20、已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 成立，则实数a的取值范围是

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1]$

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笔试成绩X	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	5	15	35	30	10	5