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相关试卷

1、已知 $tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2、已知集合 $A = {3, m}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $m = 1$ 是 $A \subseteq B$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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3、复数 $\frac{1 + 3 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求实数 $t$ 的值，使得数列 $\{\frac{S_{n} + t}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(3)、对于数列 $\{b_{n}\}$ ，规定 $\{Δ b_{n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ b_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ ．如果 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列满足 $|Δ b_{i}| \neq |Δ b_{j}| (\forall i, j \in N^{*}, i \neq j)$ ，则称 $\{b_{n}\}$ 是“绝对差异数列”．判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“绝对差异数列”并给出证明．

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5、已知点P为圆 $C : (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点， $A (- 2, 0),$ 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.

(1)、求曲线H的方程；

(2)、若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 $\frac{2}{| O S |} + \frac{1}{| O T |}$ 的取值范围.

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6、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ S A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D, M, N$ 分别为棱 $S C, A B$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $A B > A D$ ，且二面角 $C - M N - D$ 的大小为120°，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值．

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7、2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200

(1)、试根据 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ $(χ^{2}$ 精确到0.001 $)$ ；

(2)、现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} \sin B - 2 \sin^{2} \frac{B}{2} = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的一点， $B D = 3$ ，且______，求 $△ A B C$ 的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
① $B D$ 是 $∠ B$ 的平分线；
② $D$ 为线段 $A C$ 的中点

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9、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x) = 2 sin (\begin{matrix} ω x + φ \end{matrix}) - \sqrt{3} (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的两个零点，且 $| x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{π}{6}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象关于 $y$ 轴对称，且函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, θ)$ 恰有2个极值点，则实数 $θ$ 取值范围为.

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10、直线 $2 x \cdot \sin θ + y = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{5} y + 2 = 0$ 截得最大弦长为．

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 1), \vec{b} = (1, - 1), \vec{c} = (1, k)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $k =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \log_{2} x + \frac{1}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \ln 2$ 处取得极值 B、若 $k = f (x)$ 有两解，则 $k$ 的最小整数值为 $1$ C、若 $k = f (x)$ 有两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} < \ln 4$ D、 $f (x)$ 有两个零点

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13、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为 $l$ ，过点F的直线与抛物线交于 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 两点，点 $P$ 在 $l$ 上的射影为 $P_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，则 $|P Q| = 8$ B、以 $P Q$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切 C、设 $M (0, 1)$ ，则 $|P M| + |P P_{1}| \geq \sqrt{2}$ D、过点 $M (0, 1)$ 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

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14、“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为 $S_{球}$ ，体积为 $V_{球}$ ；圆柱的表面积为 $S_{圆柱}$ ，体积为 $V_{圆柱}$ ，则（）

A、 $S_{圆柱} : S_{球} = 3 : 2$ B、 $V_{圆柱} : V_{球} = 3 : 2$ C、 $S_{圆柱} : V_{圆柱} = 3 : 2$ D、 $S_{球} : V_{球} = 3 : 2$

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15、若 $\frac{1 - cos β}{sin β} = \frac{1}{3}$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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16、我们把由半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x < 0)$ 合成的曲线称作“果圆”（其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > b > c > 0$ ）.如图所示，设点 $F_{0}$ 、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 和 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 是“果圆”与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点，若 $Δ F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，则 $a$ ， $b$ 的值分别为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ， 1 B、 $\sqrt{3}$ ， 1 C、5，3 D、5，4

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17、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ，则“ $φ = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ 且 $A B = B C = B B_{1} = 2$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 、 $B_{1} B$ 的中点， $G$ 为线段 $D E$ 上一动点.

(1)、求 $C_{1} F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正切值；

(2)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(3)、求锐二面角 $C_{1} - A_{1} G - B_{1}$ 的余弦值的最大值.

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且与圆 $C_{1}$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为直线 $x = - \frac{3}{2}$ 上的点，满足：过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等．试求满足条件的点 $P$ 的坐标．

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20、已知：圆 $C$ 过点 $D (0, 1)$ ， $E (- 2, 1)$ ， $F (- 1, \sqrt{2})$ ， $P$ 是直线 $l_{1} : y = x - 2$ 上的任意一点，直线 $l_{2} : y = x + 1$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值.

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年龄	周平均锻炼时长		合计
年龄	周平均锻炼时间少于4小时	周平均锻炼时间不少于4小时	合计
50岁以下	40	60	100
50岁以上（含50）	25	75	100
合计	65	135	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828