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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $D - A_{1} C_{1} P$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[30 °, 90 °]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4, 6)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{b} // \vec{c}$ C、 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角 D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- 2, 0, - 2)$

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3、已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P C = A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥 $P - A B C$ 表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $20 π$ B、直线PC与AM所成的角 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ C、若 $A C ⊥ M N$ ，则点N的轨迹长度为 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若点N在棱AC上，则 $M N + N P$ 的最小值为2

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4、已知直线 $l$ 过点 $A (1,2)$ ， $B (3,4)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 2, 3) 、 B (3 ， 4 ， 5)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为（）

A、 $(2 ， 3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3 ， 4)$ C、 $(2 ， 3 ， 5)$ D、 $(2 ， 4 ， 5)$

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6、下列说法错误的是（）

A、 $0 \cdot \vec{0} = 0$ B、所有的单位向量的模均相等 C、零向量与任何向量共线 D、相等向量必为共线向量

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7、一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）

A、4次 B、6次 C、7次 D、50次

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8、如图，过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的左焦点 $F$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F T$ 交双曲线右支于 $P$ 点，若 $M$ 为线段 $F P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2$

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9、函数 $f (x) = (3 x^{2} - 6 x + a + 3) e^{x}$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (x_{0})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 3$ D、 $a < 3$

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10、已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与 $2 x - 5 y + n = 0$ 垂直，垂足为 $(1, p)$ ，则 $m - n + p$ 的值为（）

A、 $24$ B、 $20$ C、 $0$ D、 $- 10$

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11、如图所示，有一条“ $L$ ”形河道，其中上方河道宽 $\sqrt{2} m$ ，右侧河道宽 $\sqrt{6} m$ ，河道均足够长.现过点 $D$ 修建一条栈道 $A B$ ，开辟出直角三角形区域（图中 $△ O A B$ ）养殖观赏鱼，且 $∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且 $O H ⊥ A B$ .线段 $O H$ 将养殖区域分为两部分，其中 $O H$ 上方养殖金鱼， $O H$ 下方养殖锦鲤.

(1)、养殖区域面积最小时，求 $θ$ 值，并求出最小面积；

(2)、若游客可以在栈道 $A H$ 上投喂金鱼，在河岸 $O B$ 与栈道 $H B$ 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 $θ$ 的取值范围.

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且向量 $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为 $l$ ，面积为 $S$ ，求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.

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13、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $x O y$ 中的坐标.

(1)、设 $\vec{O M} = (0, 3)$ ， $\vec{O N} = (4, 0)$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O P} = (3, 4)$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的大小.

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14、在解析几何中，设 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为直线 $l$ 上的两个不同的点，则我们把 $\vec{P_{1} P_{2}}$ 及与它平行的非零向量都称为直线 $l$ 的方向向量，把与直线 $l$ 垂直的向量称为直线 $l$ 的法向量，常用 $\vec{n}$ 表示，此时 $\vec{P_{1} P_{2}} \cdot \vec{n} = 0$ .若点 $P \notin l$ ，则可以把 $\vec{P P}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的模叫做点 $P$ 到直线 $l$ 的距离.现已知平面直角坐标系中， $P (- 2, - 2)$ ， $P_{1} (2, 1)$ ， $P_{2} (- 1, 3)$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为.

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15、如图所示，在边长为3的等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点 $P$ 在以 $A D$ 的中点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = 1$

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + 1$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，满足 $f (x) + f (- \frac{π}{3} - x) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (- \frac{5 π}{12})$ ，当 $ω$ 取最小值时，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6}, 1) k \in Z$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[\sqrt{3} + 1, 3]$ C、将 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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17、下列命题正确的是（）

A、设 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 B、 $\sqrt{3} \sin α + \cos α = 2 \sin (α + \frac{π}{3})$ C、在 $△ A B C$ 中，若点 $O$ 满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$

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18、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列不为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $ω x_{1}$ D、 $\frac{ω x_{1}}{φ}$

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19、《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A、4 B、5 C、6 D、7

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20、下列四个函数中的某个函数在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则该函数是（）

A、 $y = \frac{x^{3} - x}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $y = \frac{x cos 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $y = \frac{1 - x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $y = \frac{sin 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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