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相关试卷

1、 $\sin 2 \cos 3$ 的值（）

A、小于0 B、大于0 C、等于0 D、不存在

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，记以 $O A, O B$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $k$ 为何值时， $S_{1} + S_{2}$ 为定值．

(3)、在（2）的条件下，设 $l$ 不过椭圆中心和顶点，且与 $x$ 轴交于点 $M$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $B D$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，求 $△ O M N$ 周长的最小值．

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3、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，
侧棱 $A A^{'}$ 的长为2，且 $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 120 °$ ，在线段 $A A^{'}$ 、 $B B^{'}$ 、 $C C^{'}$ 、 $D D^{'}$ 分别取 $A^{″}$ 、 $B^{″}$ 、 $C^{″}$ 、 $D^{″}$ 四点且 $A A^{″} = \frac{1}{4} A A^{'}$ ， $B B^{″} = \frac{1}{2} B B^{'}$ ， $C C^{″} = \frac{3}{4} C C^{'}$ ， $D D^{″} = \frac{1}{2} D D^{'}$ .求：

(1)、证明： $A^{″} B^{″} ∥ C^{″} D^{″}$ ；

(2)、 $A C^{'}$ 的长；

(3)、直线 $B D^{'}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值.

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4、DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
高昂
较高
低廉
总计
DeepSeek
36
14
50
100
OpenAI
46
24
30
100

(1)、请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
OpenAI

(2)、对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为 $m_{0} = 0.7$ ，设 $m$ 为DeepSeek发布后这两家公司抽取的 $n$ 个客户使用时的高成本运营占比，若 $m < m_{0} - \frac{m_{0} (1 - m_{0}) \sqrt{2 n}}{n}$ ，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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5、甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为 $X$ ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为 $Y$ .

(1)、求 $X$ 的期望和方差；

(2)、规定：若 $X > Y$ ，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率.

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6、已知二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式的第5项的系数.

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7、已知集合 $A = \{a, b, c, d, e\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, f : A \to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的函数，且 $f (x) = 1$ 有两个不同的实数根，则这样的函数个数为.

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8、随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}, P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 C、 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (\bar{B}) = P (\bar{A} B)$

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9、若 ${(x + 1)}^{3} + {(x - 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $a_{0} = 9$ B、 $a_{3} = 55$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{8} = 27$ D、含 $x^{6}$ 项的系数是112

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10、对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是( )

A、 $r_{1} < 0$ B、 $r_{2} > 1$ C、 $r_{1} + r_{2} > 0$ D、 $|r_{1}| > |r_{2}|$

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11、“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{10}^{2} = 165$ B、在第2022行中第1011个数最大 C、第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D、第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

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12、唐老师有语文、数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（）

A、360 B、180 C、90 D、60

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13、我校在本年度“绿谷之春”比赛中喜获佳绩，共有10位同学（每人一幅作品）获奖，其中一等奖3人，二等奖7人，校团委决定举办优秀作品展，现采取抽签方式决定作品展出顺序，则荣获一等奖的3名同学的作品在前5顺位全部被展出的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{126}$

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14、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分 $X$ 的均值是（）

A、0.2 B、0.8 C、0.16 D、0.5

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15、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X < 2) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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16、已知变量 $x$ 与 $y$ 的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2}, \end{array}$ 根据最小二乘法，计算得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.6 x + \hat{a}$ ，若 $\bar{x} = 10$ ， $\bar{y} = 15$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、6.6 B、5 C、 $-$ 1 D、 $-$ 14

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17、 $(a_{1} + a_{2} + a_{3}) (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4})$ 展开后，共有多少项？（）

A、3 B、4 C、7 D、12

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18、已知向量 $\vec{a} = (\sin ω x, \cos ω x)$ ， $\vec{b} = (\cos ω x, \sqrt{3} \cos ω x)$ ，其中 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $f (x)$ 的图象上两条相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、若对 $\forall x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x - \frac{π}{6}) > \sqrt{2} [m f (\frac{x}{2} - \frac{π}{24}) - \cos (x - \frac{π}{4})]$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (x) = - \frac{3}{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 求 $x$ 的值；

(3)、若方程 $2 f (x) - 3 \sqrt{3} = 0$ 在 $(0, m)$ 上恰有 $5$ 个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围.

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20、已知锐角 $α ， β$ ，且满足 $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{2}}{10} ， \cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\sin α$ ；

(2)、求 $α + β$ .

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	高昂	较高	低廉	总计
DeepSeek	36	14	50	100
OpenAI	46	24	30	100

	高成本运营	低成本运营
DeepSeek
OpenAI

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828