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相关试卷

1、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、3 C、2 D、1

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2、设函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有极值，且 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“F点”．

(1)、判断函数 $y = x - \sin x$ 是否存在F点；

(2)、设函数 $f (x) = k x^{2} - 2 \ln x (k \in R)$ ，当 $f (x)$ 存在F点，求k的值；

(3)、设函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a \neq 0)$ ，存在两个不相等的“F点” $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \geq 1$ ，求a取值范围．

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3、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$

(2)、证明： $B F ⊥ D E$

(3)、当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．

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4、某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ，第二轮比赛时两组通过的概率分别是 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ ，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 最大，试求 $p_{0}$ 的值．

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5、某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200

(1)、根据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计 $P (B |A)$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 1$ ．

(1)、求实数a，b的值：

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值．

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7、设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为，集合A中元素个数的最大值为．

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8、随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立，且 $X \sim N (4, 4)$ ， $Y \sim B (7, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X \leq 4, Y \leq 3) =$ .

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9、已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为 $\hat{y} = 0.95 x + 2.6$ ，则 $a =$ .
$x$
0
1
3
4
$y$
$a$
4.3
4.8
6.7

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10、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{A P} = \vec{A B} + x \vec{A A_{1}} + y \vec{A D}$ ， $x \in [0, 1]$ ， $y \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $x = y$ 时，有且仅有一点P满足 $D B_{1} ⊥ A_{1} P$ ； B、若 $A P$ 与平面 $C C_{1} B_{1} B$ 所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ ； C、当 $x + y = 1$ 时，满足到直线 $A_{1} B_{1}$ 的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个； D、E、F分别为 $A A_{1}, A D$ 的中点，若存在 $λ ， μ \in R$ ，使 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{B E} + μ \vec{B F}$ 成立，则点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

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11、已知 ${(x + 2)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} {(x + 1)}^{6} + a_{7} {(x + 1)}^{7}$ ，则正确的是（）

A、 $a_{5} = 21$ B、 $\sum_{i = 0}^{7} {(- 1)}^{i} a_{i} = 0$ C、 $\sum_{i = 1}^{7} i a_{i} = 448$ D、 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{7}$ 这8个数中 $a_{6}$ 最大

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12、下列命题中正确的是（）

A、数据 $- 1, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9$ 的第25百分位数是1 B、若事件 $M ､ N$ 的概率满足 $P (M) \in (0, 1), P (N) \in (0, 1)$ 且 $P (N ∣ M) + P (\bar{N}) = 1$ ，则 $M ､ N$ 相互独立 C、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $D (2 X + 1) = 5$ ，则 $n = 5$ D、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2}), P (X > 2) = 0.62$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.12$

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13、已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，满足 $\frac{\ln (2 a)}{a} = \frac{\ln b}{b} = - \frac{\ln c}{c} < 0$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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14、若曲线 $y = (x - a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [4, + \infty)$

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15、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, - 1, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (0, 1, 1)$ ， $\overset{⃑}{c} = (1, 2, m)$ ，若 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ 共面，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 2$

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16、若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (1) \cdot x^{2} - x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为( )

A、3 B、1 C、0 D、－1

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17、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，标准差为 $s$ ，则数据 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{n}$ 的平均数和标准差分别为（）

A、 $2 \bar{x}$ ， $2 s$ B、 $2 \bar{x}$ ， $4 s$ C、 $2 \bar{x}$ ， $\sqrt{2} s$ D、 $\bar{x}$ ， $4 s$

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18、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{sin A - sin B}{sin C} = \frac{a - c}{a + b}$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $B C = 1$ ， $cos A = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ，求 $A B$ ；

(3)、若 $B C = A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 在线段 $A C$ 上，且 $∠ M B N = \frac{π}{6}$ ，问当 $∠ C B N$ 取何值时， $△ M B N$ 的面积最小，并求出面积的最小值.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，顶点 $P$ 在底面的射影是线段 $A D$ 的中点 $O$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、求证： $O E //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $45 °$ ，求 $O E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20、第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）第70百分位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.

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		语文成绩		合计
		优秀	不优秀	合计
数学成绩	优秀	50	30	80
数学成绩	不优秀	40	80	120
合计		90	110	200

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828

$x$	0	1	3	4
$y$	$a$	4.3	4.8	6.7