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相关试卷

1、已知命题 $p : \forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ； $q : \exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \leq 1$ ．下列判断正确的是（）

A、p，q均为真命题 B、 $p$ 为真命题， $q$ 为假命题 C、 $p$ 为假命题， $q$ 为真命题 D、p，q均为假命题

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2、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、1 D、i

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3、已知集合 $A = \{x| x > 2\}$ ， $B = \{x| \log_{2} x > \frac{1}{2}\}$ ，则（）

A、 $A \cup B = R$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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4、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、先将函数 $f (x)$ 保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{B}{2} (B \neq 0)$ 倍，再将图象向左平移 $m (0 < m < \frac{π}{2})$ 个单位，得到的函数 $g (x)$ 为偶函数．若对任意的 $x_{1} \in [- \frac{π}{3}, 0]$ ，总存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{3}, 0]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $B$ 的取值范围．

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5、设 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $2 a - c = 2 b cos C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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6、已知 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、求向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(3)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标．

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8、若函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，其图象与函数 $g (x) = cos 2 x$ 的图象重合，则 $m$ 的最小正数值为．

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9、已知点 $A (2, 3), B (1, 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 的坐标为．

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10、设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C}$ ，则点 $M$ 是边 $B C$ 的中点 B、若 $\overset{⇀}{A M} = 2 \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C}$ ，则点 $M$ 在边 $B C$ 的延长线上 C、若 $\overset{⇀}{A M} = - \overset{⇀}{B M} - \overset{⇀}{C M}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、若 $\overset{⇀}{A M} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是的 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{2}$

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11、已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $D$ 是边 $B C$ 上的动点， $E$ 是边 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{A D}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{3}, 0]$ B、 $[0, 2 \sqrt{3}]$ C、 $[- 3, 0]$ D、 $[0, 3]$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = b \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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13、若 $a = 3^{0.5}, b = {0.8}^{2}, c = \log_{0.5} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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14、已知 $α$ 为第四象限角， $cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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15、函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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16、 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4, 5\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$

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17、人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了 $A$ ， $B$ 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 $A$ ， $B$ 两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌， $A$ ， $B$ 两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过.

(1)、若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的 $\frac{3}{5}$ ；在正确识别的音乐中 $A$ 组占 $\frac{2}{3}$ ；在错误识别的音乐中 $B$ 组占 $\frac{1}{2}$ .
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？
单位：首
软件类型
识别音乐是否正确
合计
正确
错误
$A$ 组的AI软件

$B$ 组的AI软件

合计

100
（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率.

(2)、研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域 $(- 2, 2)$ 上的单调性（不用证明），并解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ .

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19、4名男生和3名女生站成一排．

(1)、甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)、甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

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20、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{1}{b}, \frac{1}{a}]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数 $f (x)$ 的一个“倒值区间”．已知定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ ，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，则函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的“倒值区间”为．

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软件类型	识别音乐是否正确		合计
软件类型	正确	错误	合计
$A$ 组的AI软件
$B$ 组的AI软件
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828