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相关试卷

1、在如图所示的实验装置中，两个正方形框架 $A B C D ， A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 $M ， N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 长度保持相等，记 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2}) ．$

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $C B E$ ；

(2)、求 $M N$ 的长，并求其最小值；

(3)、当 $M N$ 的长最小时，求平面 $M N A$ 与平面 $M N B$ 夹角的余弦值．

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2、如图，圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P (- 1, - \sqrt{3})$ ， $A B$ 为过点 $P$ 且倾斜角为 $α$ 的弦．

(1)、当 $α = 120^{\circ}$ 时，求 $\overset{}{A B}$ 的长；

(2)、是否存在弦 $A B$ 被点 $P$ 平分？若存在，写出直线 $A B$ 的方程；若不存在，说明理由．

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求 $B D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成角的余弦值．

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4、（1）直线 $l_{1}$ 经过两条直线 $2 x + y - 8 = 0$ 和 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程，并化成一般式；
（2）已知直线 $l_{2}$ 经过 $P (0, 1)$ ，若直线 $l_{2}$ 与连接 $A (1, 0)$ ， $B (2, 3)$ 两点的线段总有公共点，求直线 $l_{2}$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $α$ 的取值范围．

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5、已知 $M$ 为直线 $y = 2$ 上一动点，过点 $M$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则点 $N (- 2, - 1)$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为

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6、直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 关于直线 $3 x - 4 y - 1 = 0$ 对称的直线的方程为．（用一般式表示）

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7、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, 3, 5)$ 关于 $z$ 轴对称的点的坐标为．

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8、已知圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : (m + 1) x + 2 y - 1 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1 C、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的最小弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、若圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + a = 0$ 恰有三条公切线，则 $a = 8$

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9、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列各式运算结果为向量 $\vec{B D_{1}}$ 的是（）

A、 $(\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A}) - \vec{A B}$ B、 $(\vec{B C} + \vec{B B_{1}}) - \vec{D_{1} C_{1}}$ C、 $(\vec{A D} - \vec{A B}) - \vec{D D_{1}}$ D、 $(\vec{B_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A}) + \vec{D D_{1}}$

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10、设 $a > 0 ， b > 0$ ，若直线 $a x - 2 b y + 2 = 0$ 平分圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的周长，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $A_{1} C$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{5} \vec{a}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a}$

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13、过点 $O (0, 0), A (4, 0), B (0, 3)$ 的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{27}{4}$ B、 ${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{27}{4}$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$

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14、已知直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、0或 $\frac{1}{6}$ B、0 C、 $\frac{1}{6}$ D、1

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15、圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 和圆 $N ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、外离

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16、直线 $l : y = \sqrt{3} x - 2$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1$ ， $c_{n + 1} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} \cdot c_{n} (n \in N *)$ ．

(1)、若 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $b_{1} + b_{2} = 6 b_{3}$ ，求 $q$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d > 0$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ ， $n \in N *$ ．

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18、如图，过抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， $| A B | = 4.$

(1)、求C的方程；

(2)、以AB为直径的圆能否经过坐标原点 $O ?$ 若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.

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19、甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 $\frac{1}{2}$ .假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为.

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20、若函数 $y = f (x)$ ，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 与 $x = 1$ 处的瞬时增长率相同 B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上不单调 C、 $y = f (x)$ 可能为奇函数 D、 $f (1.2) + f (1) > 2 f (1.1)$

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