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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ．

(1)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、设 $h (x) = g (x) + x^{2} - x + m - 4$ ，求关于x的不等式 $h (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $m = - 1$ ，对任意 $n \in R$ ，总存在 $x_{0} \in [- 2, 2]$ ，使得不等式 $|g (x_{0}) - x_{0}^{2} + n| \geq k$ 成立，求实数k的取值范围．

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2、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $f (x) = c x^{3} + d x^{2} + e x + f$ ，其中 $c, d, e, f \in R$ ．

(1)、证明：若函数 $y = f (x)$ 为奇函数，则实数 $d$ 和 $f$ 均为定值；

(2)、当 $c = 1$ ， $d = - 3$ ， $e = 3$ ， $f = 4$ 时，
（ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心；
（ⅱ）求 $f (100) + f (- 98)$ 的值．

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3、深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本 $C (x)$ 万元， $C (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 10 x, 0 < x < 20 \\ 25 x + \frac{900}{x} - 150, x \geq 20 \end{array}$ ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完．

(1)、写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大．

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4、已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ ，且此函数图象过点 $(1, 5)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性？并证明你的结论.

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最小值和最大值.

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5、若函数 $f (x) = |x - a + 1|$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是．

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6、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{|x| - 5}$ 的定义域为．

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域是R ，若对任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法中正确的是（）．

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是非奇非偶函数 C、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、 $f (x - 2) + f (x^{2} - 2 x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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8、下列说法中正确的是（）．

A、命题“ $\forall x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} < 0$ ” B、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 是同一个函数 C、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 3) = 4 x - 7$ ，若 $f (a) = - 3$ ，则实数 $a = - 1$ D、若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 4]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2, 5]$

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9、（多选题）下列各式中，最小值为2的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ B、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ C、 $\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2$ D、 $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (- a - 5) x - 2, x \geq 2 \\ x^{2} + 2 (a - 1) x - 3 a, x < 2 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4, - 1]$ B、 $[- 4, - 2]$ C、 $(- 5, - 1]$ D、 $[- 5, - 4]$

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11、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 $\{x |x \leq - 2$ 或 $x \geq 1\}$ ，则 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x |x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ B、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 1\}$ C、 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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12、下列命题是真命题的是（）．

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $\frac{1}{a - c} > \frac{1}{b - d}$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则 $f (- 1) =$ （）．

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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14、已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = \{x |(x - 1) (x - 2) = 0\}$ ， $B = \{x \in Z |- 3 < 2 x - 1 < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{1, - 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 2\}$

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16、设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (x)$ 在区间 $D$ 上单调递增，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的凹函数，区间 $D$ 称作函数 $f (x)$ 的凹区间；反之，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的凸函数，区间 $D$ 称作函数 $f (x)$ 的凸区间.

(1)、已知函数 $g (x) = ln x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，求 $g (x)$ 的凹、凸区间；

(2)、如图所示为某个凹函数 $y = m (x)$ 的图象，在图象上任取两个不同的点 $A (x_{1}, m (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, m (x_{2}))$ ，过线段 $A B$ 的中点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，与函数图象和 $x$ 轴分别交于 $D$ ， $E$ 两点，则有 $|C E| > |D E|$ .
①将不等关系 $|C E| > |D E|$ 转化为对应的不等式；
②证明：当 $x$ ， $y \in (0, 2)$ 时， $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y}) \geq {(\frac{x + y}{2} + \frac{2}{x + y})}^{2}$ 恒成立.

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $A$ 到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $M N$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M 、 N$ 两点，过点 $M$ 作直线 $m : x = - 2 a$ 的垂线 $M E, E$ 为垂足.求：
①已知直线 $E N$ 过定点 $P$ ，求定点 $P$ 的坐标；
②点 $O$ 为坐标原点，求 $△ O E N$ 面积的最大值.

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18、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一定点，并且点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和2. $B$ ， $C$ 分别是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，设 $∠ A B D = x$ .

(1)、写出 $△ A B C$ 面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式 $S (x)$ ；

(2)、求函数 $S (x)$ 的最小值及相对应的 $x$ 的值.

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20、人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{m} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{m}$ 为法向量，点 $P (x, y, z)$ 是平面内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为“ $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0})$ ”．现已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，平面 $C D D_{1} C_{1}$ 的方程为 $x - 2 y + z - 2 = 0$ ，平面 $A D D_{1} A_{1}$ 经过点 $E (0, 0, 1), F (1, 1, 2), G (2, 2, 1)$ ，平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的方程为 $k x - t y - 2 z + 1 = 0 （ 1 \leq t \leq 2 ）$ ，则平面 $C D D_{1} C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值的最大值为．

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