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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $M, N$ 分别为棱 $B C, P D$ 上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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2、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $G$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} G = λ (0 < λ < 2)$ ，则点 $G$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} λ}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 1, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{(a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、2

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4、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ，满足 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} \cos B + \cos C = 1$ ，点D为边BC的中点，求AD的长．

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5、某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 $[50, 60), [60, 70), \cdot \cdot \cdot, [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中 $x$ 的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在 $[50, 60)$ 内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为 $[50, 60)$ 的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

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6、已知 $f (x) = \frac{sin (π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (2 π + α) sin (\frac{3 π}{2} - α) sin (- π - α)}$

(1)、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，求 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $4 {sin}^{2} α - 3 sin α cos α$ 的值.

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7、已知在 $△ O A B$ 中，点 $D$ 在线段 $O B$ 上，且 $O D = 2 D B$ ，延长 $B A$ 到 $C$ ，使 $B A = A C$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{D C}$ 共线，求 $k$ 的值.

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8、18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $Ω$ 的统一体积公式 $V = \frac{1}{6} h (L + 4 M + N)$ （其中 $L$ ， $N$ ， $M$ ， $h$ 分别为 $Ω$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 $R$ ，可得该球的体积为 $V = \frac{1}{6} \times 2 R (0 + 4 \times π R^{2} + 0) = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；已知正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $h$ ，可得该正四棱锥的体积为 $V = \frac{1}{6} \times h [0 + 4 \times {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}] = \frac{1}{3} a^{2} h$ .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 $O$ 的表面积为 $16 {πcm}^{2}$ ，若用距离球心 $O$ 都为1cm的两个平行平面去截球 $O$ ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $Π$ 的体积为 ${cm}^{3}$ .

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9、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的解析式为.

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10、设 $x 、 y$ 均为正数，且 $x + y = 1$ ，则 $5^{x} + 5^{y}$ 的最小值为.

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11、已知一个正八面体 $A B C E D F$ 如图所示， $A B = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、点 $D$ 到平面 $A F C E$ 的距离为1 C、异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ D、四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积为 $4 π$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、若 $m = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ D、若 $m = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，令 $h (x) = f (x) - k$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(0, + \infty)$ B、当 $h (x)$ 有3个零点时， $k \in (- 4, - 3)$ C、当 $k = - 2$ 时， $h (x)$ 的所有零点之和为 $- 1$ D、当 $k \in (- \infty, - 4)$ 时， $h (x)$ 有1个零点

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14、已知 $a =$ $\log_{0.2} 0.3$ ， $b = \ln a$ ， $c = 2^{a}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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15、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $- 1$

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16、某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（）

A、0.5 B、0.55 C、0.6 D、0.75

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17、已知 $tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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18、已知集合 $A = {3, m}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $m = 1$ 是 $A \subseteq B$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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19、复数 $\frac{1 + 3 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求实数 $t$ 的值，使得数列 $\{\frac{S_{n} + t}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(3)、对于数列 $\{b_{n}\}$ ，规定 $\{Δ b_{n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ b_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ ．如果 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列满足 $|Δ b_{i}| \neq |Δ b_{j}| (\forall i, j \in N^{*}, i \neq j)$ ，则称 $\{b_{n}\}$ 是“绝对差异数列”．判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“绝对差异数列”并给出证明．

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