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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $P (0, 2)$ ，若 $S_{△ O A B}$ $+ S_{△ P A B} = 3 \sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中， $A (2, 3)$ ，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为 $x + 7 y + 7 = 0$ ．

(1)、求直线AB的方程；

(2)、若 $A C = B C$ ， ①求 $△ A B C$ 的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标．

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3、已知 $M$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 上的动点，点 $N$ 满足 $\vec{M N} = (a, λ a) (λ > 0)$ ，记点 $N$ 的轨迹为 $C$ ，若圆 $O$ 与轨迹 $C$ 的公共弦所在直线的方程为 $2 x + y - 5 = 0$ ，则 $a + λ =$ ．

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4、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左､右焦点，点 $P$ 在椭圆上运动，则 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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5、若 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则称 $(x, y, z)$ 为 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标，若一向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(1, 2, 2)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, 2 \vec{c}\}$ 下的坐标为．

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6、已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $C_{1}$ 是满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 9$ 的动点 $P$ 的轨迹， $C_{2}$ 是以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点的椭圆，下列说法正确的是（）

A、 $C_{1}$ 与 $y$ 轴有2个公共点 B、若 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 有2个公共点在 $x$ 轴上，则 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、若 $M$ 为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公共点，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则 $C_{2}$ 的长轴长为 $3 \sqrt{6}$ D、点 $P$ 到原点 $O$ 距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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7、下列说法正确的有（）

A、直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ B、点 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, - 6)$ 在同一条直线上 C、直线 $2 x - y + 3 = 0$ 关于点 $(3, 2)$ 对称的直线方程是 $2 x - y - 11 = 0$ D、经过任意两个不同点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 的直线都可用方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示

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8、如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P (x, y)$ 是阴影部分（包括边界）的动点，则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、-1

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9、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 中点，则平面 $M A C_{1}$ 与平面 $A C_{1} C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、若圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上到直线 $x - \sqrt{3} y + 4 = 0$ 距离为1的点有且仅有2个，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(3, 5)$ D、 $(4, 6)$

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若点 $M$ 为 $A B$ 的中点， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C C_{1}}$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{14}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{14}$

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12、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 靠近 $A_{1}$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C}$ $= \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{N M}$ 为（　　）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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13、设 $m$ 为实数，若方程 $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m + 2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < 3$ B、 $m > 3$ C、 $\frac{1}{2} < m < 3$ D、 $- 2 < m < \frac{1}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = ln x - a x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = x f (x)$ ，且 $g (x)$ 存在两个极值点．
①求 $a$ 的取值范围；
②设 $g (x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $ln x_{1} \cdot ln x_{2} + ln (x_{1} x_{2}) > 4 a^{2} - 1$ ．

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15、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 是 $Γ$ 上一动点，且 $△ O P F$ 的面积最大值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若 $C$ 是 $Γ$ 上的另一点，满足四边形 $O A C B$ 为平行四边形.
（i）求 $|A B|$ ；
（ii）设 $C$ 关于 $O$ 的对称点为 $D$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆.

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $a^{2} + c^{2} - a c = b^{2}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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17、若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = a \ln x$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线，则 $a =$ ．

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 3 a_{3}$ ，则公比 $q$ 的值为.

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19、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = - a_{n}^{2} + 2 a_{n} + c ， a_{1} = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\forall c < - 1 ， a_{n} < 0$ B、 $\forall c < - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 单调递减 C、 $\exists c \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 为公差不为 0 的等差数列 D、若 $c = 0 ， (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) (1 - a_{3}) \dots (1 - a_{10}) = 2^{1023}$

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20、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点，若直线 $A B$ 过抛物线的焦点 $F$ 且倾斜角为 $θ$ .则下列命题正确的是（）

A、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ B、 $|A B| = x_{1} + x_{2} + p = \frac{2 p}{\sin^{2} θ}$ C、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = \frac{2}{p}$ D、 $y_{1} y_{2} = - 2 x_{1} x_{2}$

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