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相关试卷

1、若实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} - n a b = 9$ ， $n \in R$ ，则下列说法正确的为（）

A、当 $n = 1$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为18 B、当 $n = 1$ 时， $a + b$ 的最小值为 $- 6$ C、当 $n = 3$ 时，ab的最小值为 $- 9$ D、当 $n = 3$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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2、若集合 $A = \{(m, n) |m \leq - 2, 0 < n \leq t\}$ ， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m \log_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则t的最大值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3、在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点A、顺时针旋转角 $β$ （ $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点B的纵坐标为（）

A、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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4、若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 1) x + 9 \leq 0$ 在区间 $[1, 4]$ 上有解，则实数m的最小值为（）

A、9 B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，设 $a = {0.3}^{2}, b = {log}_{2} 0.3, c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

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6、已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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7、若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在 $k$ 个不同点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $\dots$ 、 $P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ 处的切线重合，则称该切线为函数 $y = f (x)$ 的一条 $k$ 点切线，该函数具有 $k$ 点切线性质．

(1)、判断函数 $y = x^{2} - 2 |x|$ ， $x \in R$ 的奇偶性并写出它的一条 $2$ 点切线方程（无需理由）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} - ln x$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否具有 $k$ 点切线性质，并说明理由；

(3)、设 $g (x) = cos x + 2 x$ ，证明：对任意的 $m \geq 3$ ， $m \in N$ ，函数 $y = g (x)$ 具有 $m$ 点切线性质，并求出所有相应的切线方程．

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8、椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，设 $P (x_{0}, y_{0})$ 是第一象限内椭圆上的一点， $P F_{1}$ 的延长线交椭圆于点 $Q (x_{1}, y_{1})$ ．

(1)、若椭圆的离心率 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{2}, \vec{P Q} \cdot \vec{O F_{1}} = \frac{12}{5}$ ，求 $x_{0}$ ；

(3)、若 $a = 2$ ，过点 $T (0, t)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $|M N| = 2$ ，则当 $t \geq 0$ 时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？

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9、如图为正四棱锥 $P - A B C D, O$ 为底面 $A B C D$ 的中心．

(1)、求证： $C D //$ 平面 $P A B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、设 $E$ 为 $P B$ 上的一点， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B P}$ ．
在下面两问中选一个，
①若 $A D = A P = 3 \sqrt{2}$ ，求直线 $E C$ 与平面 $B E D$ 所成角的大小．
②已知平面 $E C D$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小为 $arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若 $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A P$ 的长．

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10、某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

(1)、求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、已知甲型芯片指标在 $[80, 100)$ 为航天级芯片，乙型芯片指标在 $[60, 70)$ 为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在 $[70, 90)$ 内取2件，乙型芯片指标在 $[50, 70)$ 内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．

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11、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = a^{x}$ （常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 9)$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (|2 x - 1|) > 3$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in (0, 1]$ ，使得数列 $f (1) 、 f (t x) 、 f (x^{2} + 2)$ 是等比数列，求实数 $t$ 的取值范围.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 不是常数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ．若对任意正整数 $n$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $|S_{n} - a_{m}| < a_{1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足公差 $d = 3$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”；
②若等比数列 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”，则其公比 $q \in (0, \frac{1}{2}]$ ．
则下列判断正确的是（）

A、①与②均为真命题 B、①与②均为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①为真命题，②为假命题

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13、在四棱锥 $S - A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 0)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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14、函数 $y = {log}_{2} sin x + {log}_{2} cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数是偶函数 B、函数定义域是 $(0, \frac{π}{2})$ C、函数最大值 $- 1$ D、函数的最小正周期为 $π$

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15、在 $△ A B C$ 中，“ $C = \frac{π}{2}$ ”是“ ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $M = \{P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}\}, n \geq 2, n \in N$ 是由函数 $y = cos x, x \in [0, 2 π]$ 的图象上两两不相同的点构成的点集，集合 $S = \{a | a = \vec{O P_{0}} \cdot \vec{O P_{i}}, i = 0, 1, 2, \dots, n, n \geq 2, n \in N\}$ ，其中 $P_{0} (0, 1)$ 、 $P_{1} (π, - 1)$ ．若集合 $S$ 中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为 $d$ 的等差数列，当 $d \in \{\frac{1}{2}, 1\}$ 时，则符合条件的点集 $M$ 的个数为．

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17、上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 $O_{1} O_{3} = 20 cm$ ， $O_{2} O_{3} = 18 cm$ ， $A B = 16 cm$ ，则制作 $100$ 个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜．（铜的密度为 $8.9 g / {cm}^{3}$ ）（结果精确到个位）

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18、申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形 $A B C$ 及以弦 $B C$ 和劣弧 $B C$ 所围成的弓形所组成，其中 $A B = A C$ ，劣弧 $B C$ 所在的圆为三角形的外接圆，圆心为 $O$ ．
已知 $∠ B A C = θ, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，外接圆的半径是2，则该图形的面积为．（用含 $θ$ 的表达式表示）

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19、甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分元奖金才公平？

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20、在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z_{1} = i (- 4 - 3 i)$ ， $z_{2} = 12 + 5 i$ 对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $⟨\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}⟩$ 的大小为．

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