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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ 的焦距为8，且椭圆 $E$ 上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 $E$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，其中 $a_{6} , a_{10} $ 为方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $a_{8} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、已知三个向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (x, 2, 5)$ 共面，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、已知函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1) = a {log}_{3} (x + 1)$ 且 $f (2) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 的定义域为 $[2, + \infty)$ .
（i）求 $y = f (4^{x} - 2^{x})$ 的定义域；
（ii）若方程 $f (4^{x} + 1) - f (k \cdot 2^{x} + k) = x$ 有唯一实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{a - e^{x}}{1 + a e^{x}} (a > 0)$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、设 $g (x) = k x + 5 - 2 k$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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6、实行垃圾分类、保护生态环境人人有责.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用 $x$ 年，则其所需维修保养费用 $x$ 年来的总和为 $(2 x^{2} + 10 x)$ 万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 $y$ 万元.

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上；

(2)、该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？（年平均盈利额 $= \frac{盈利总额}{使用年数}$ ）

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7、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，若 $g (x) = f (x) - a x - 3$ 在 $[1, 3]$ 上最大值为0，求实数 $a$ 的值.

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8、已知集合 $A = \{x |2 - a \leq x \leq 2 a\}$ ， $B = \{x |x < 4\}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x}{| x | - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减 C、集合 $\{x ∣ f (x) = 1\}$ 的元素个数为2个 D、集合 $\{x |f (x) = \frac{a}{x}, a > 4\}$ 的元素个数为4

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10、已知正数a，b满足 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + 2 b \geq 6$ B、 $a + b \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $a b \geq 2$ D、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 8$

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11、下列函数中，值域是 $(0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ B、 $y = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$ C、 $y = \frac{x + 2}{x + 1} (x \in (0, + \infty))$ D、 $y = ln (2^{x} + 1)$

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12、 $n$ 维向量是平面向量和空间向量的推广，对 $n$ 维向量 ${\vec{m}}_{n} = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ $(x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记 $f ({\vec{m}}_{n}) = 1 + x_{1} + x_{1} x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n}$ ，设集合 $D ({\vec{m}}_{n}) = \{{\vec{m}}_{n}| f ({\vec{m}}_{n}) 为偶数\}$ .

(1)、求 $D ({\vec{m}}_{2})$ ， $D ({\vec{m}}_{3})$ ；

(2)、（i）求 $D ({\vec{m}}_{n})$ 中元素的个数；
（ii）记 $g ({\vec{m}}_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，求使得 $\sum_{{\vec{m}}_{n} \in D ({\vec{m}}_{n})} g ({\vec{m}}_{n}) \leq 2025$ 成立的最大正整数 $n$ .

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13、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（1）求证：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；
（2）若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ ．
① 求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 4 - n$ 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

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14、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = e^{x - 1} + \frac{1}{3} f^{'} (1) x^{2} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对于任意的 $x \in [- 1, 2], f (x) \geq m x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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15、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 c - \sqrt{3} a) cos B = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形且腰长为2，求 $△ A B C$ 的底边长.

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16、英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是.

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17、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C B} - \vec{A C} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2} {\vec{B C}}^{2}$ ，则 $\tan (B - C)$ 的最大值为.

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过左焦点 $F$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{c^{2}}{4}$ 相切于点 $E$ ，与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ，且 $|P E| = 3 |E F|$ ，则椭圆离心率为.

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19、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x)$ 为非常数函数， $f (x) + f (x + 2) = 6$ ， $g (2 x + 1)$ 为奇函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (1) = 0$ B、 $g (x + 2) = g (2 - x)$ C、 $f (x) = f (x + 2)$ D、 $\sum_{i = 1}^{40} f (i) = 120$

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