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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点， $P (- 1, 1)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的准线上的一点，过 $C$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F| = 2$ B、 $△ O A B$ 为钝角三角形 C、直线 $O Q$ 的斜率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $P A ⊥ P B$ ，则直线 $l$ 的斜率为2

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2、以下四个命题是真命题的是（）

A、直线 $(m + 1) x - 2 m y - 3 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(3, 6)$ B、若直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x - (m - 1) y + 3 = 0$ 互相垂直，则 $m = - \frac{1}{2}$ C、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $a x - (a - 2) y + 1 = 0$ 平行，则 $a = 1$ D、过点 $A (3, 1)$ 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 $x - y - 2 = 0$ 或 $x - 3 y = 0$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 上一点．直线 $A F_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ， $|O F_{1}| = |O A|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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4、已知 $m > 0$ ，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 4} = 1$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，则 $m =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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5、直线 $3 x - \sqrt{3} y - 4 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6、把一个底面半径为4，高为 $\frac{1}{6}$ 的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 m - 1) x + 4 m, x < 1 \\ - x^{2} + 2 m x - 2 m + 1, x \geq 1 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的减函数，下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围为 $[\frac{1}{7} ， \frac{1}{3})$ B、 $\forall a \in R, f (a^{2}) < f (a - 1)$ C、若 $f (a - 4) > f (3 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, + \infty)$ D、函数的值域为 $R$

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8、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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9、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 9}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的奇函数，满足 $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明.

(3)、若 $f (t^{2} - 1) + f (1 - 4 t) < 0,$ 求实数 $t$ 的取值范围.

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11、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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12、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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13、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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14、已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A B, A D, D C, B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ ；

(2)、求 $|H F|$ 的长.

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16、已知O为坐标原点，双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若 $|P A| = \sqrt{3} |P O|$ ，则C的渐近线方程为.

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17、已知点 $A (2, 0, 0)$ 、 $B (0, 0, 1)$ 、 $C (3, 1, - 1)$ ，则点C到直线AB的距离为.

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18、直线 $l$ 的方程为 $(a + 2) x + (a - 2) y - 2 a = 0$ （a为常数）恒过定点.

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19、已知曲线C： $4 x^{2} - x y + 4 y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于原点对称 B、直线 $y = 1$ 与曲线C有公共点 C、曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 $[- \frac{4 \sqrt{7}}{21}, \frac{4 \sqrt{7}}{21}]$ D、曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{14}}{7}]$

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20、下列说法正确的是（）

A、若直线倾斜角越大，则斜率越大 B、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距相等的直线有 $2$ 条 C、若直线l经过点 $A (1, 0)$ 、 $B (2, \tan α)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $α$ D、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角θ的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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